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Funktionentheorie » Holomorphie » Sterngebiet Stammfunktion
Autor
Universität/Hochschule Sterngebiet Stammfunktion
digerdiga
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1389
  Themenstart: 2017-10-06

Die Funktion $f(z)=-\tan(z)$ hat Pole genau an den Stellen $\left(n+1/2\right)\pi$ und ist sonst holomorph. Müsste die sternförmige Menge $\IC \setminus U$ mit $U=\left\{z \in \IR \big: |z| \geq \frac{\pi}{2}\right\}$ und dem Sternmittelpunkt 0 nicht ein Stammgebiet sein, so dass $\ln\cos(z)$ dort eine Stammfunktion ist? Wenn ich mir allerdings $\Im(\ln(\cos(z)))$ anschaue, dann liegen die Schnitte bei $(2n+1)\pi + i\IR$. Müssten diese nicht alle auf U liegen? Oder ist die Argumentation anders herum? Weil die Schnitte von $\Im(\ln(\cos(z)))$ nicht dort liegen wo ich sie erwarte, ist dies auch nicht die Stammfunktion?!? Gegeben wäre diese ja durch $F(z)=\int_0^z f(z') {\rm d}z'$ wobei dies als die Gerade von 0 bis z zu verstehen ist. Wie kann man dies in Form von elementaren Funktionen ausdrücken?

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Ex_Senior
  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-06

Hallo digerdiga, die Funktion $\ln\cos(z)$ ist auf $\IC\backslash U$ so nicht wohldefiniert. Um einen Zweig des Logarithmus zu definieren, muß $\cos(U)$ in einem einfach zusammenhängenden Gebiet von $\IC\backslash\{0\}$ liegen, insbesonder muß $0\notin \cos(U)$ gelten. Korrektur: Das sollte jeweils $\cos(\IC\backslash U)$ heißen.

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digerdiga
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Mitteilungen: 1389
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-06

Hey, Sei f=u+iv eine holomorphe Funktion, die auf der reellen Achse reelle Werte annimmt, und dessen Nullstellen alle auf der reellen Achse liegen. Dann verschwindet v auf der reellen Achse. Sei nun u(X,0) <= 0 für ein Intervall X. Gilt dann u(X,y) <= 0 für alle y??

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