Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Effektiver Cartier-Divisor besitzt Kodimension 1
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Effektiver Cartier-Divisor besitzt Kodimension 1
KarlRuprecht
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 191
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-29


Sei <math> D </math> ein effektiver Kartier Divisor von einem Schema <math> X</math>; insbesondere also assoziiert zur Tupelfamilie <math>\{(U_i, f_i)\}</math>, wobei <math>U_i</math> Schema <math> X </math> affin überdecken und <math>f_i \in \Gamma(U_i, \mathcal{O}_X)</math> reguläre lokale Schnitte seinen (da effektiv). Dieses Datum defiert offenkundig eine invertierbare (insb. quasikohärente) Idealgarbe <math>\rho</math> auf X. Daher lässt sich ja <math>D</math> als Träger der Quotientengarbe <math>\mathcal{O}_X / \rho</math> deuten.

Meine Frage wäre wieso <math> D </math> Kodimension eins besitzt?



Bisherige Überlegungen: Die Definition der Codimension eines Unterschemas <math> D </math> ist durch <math>\operatorname{codim}(D,X) =: \inf \{ \dim \mathcal{O}_{X,d} \mid d\in D \}</math> erklärt (ist das korrekt?)

In Bombieri's "Heights in Diophantine Geometry" (vgl. S. 550 bzw. Anhandg unten) wird dies mit Krulls Hauptidealsatz gefolgert:

Da <math> D </math> als Garbenstruktur  <math>\mathcal{O}_X / \rho </math> besitzt, sind die Halme von der Gestalt <math> \mathcal{O}_{D, y} =\mathcal{O}_{X, y} / (f)</math> für reguläre <math> f </math>.
Krulls HIS liefert <math> 1 \ge dim(\mathcal{O}_{D,y}) \ge dim(\mathcal{O}_{X,y})-1</math>, falls <math>y \in D</math> zu einem minimalen Primideal in <math> \mathcal{O}_{D,y} </math> korrespondiert. Aber wie erhalte ich daraus die Behauptung?



Referenz:




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1241
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-29


Hi,

die Kodimension ist die Höhe, und diese ist gleich 1 nach dem Krullschen Hauptidealsatz. Siehe www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/commalg-2013/chapter-11.pdf



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
KarlRuprecht
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 191
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-29


Du meinst höchstens eins, und zwar, falls <math> y </math> zum minimalen Primideal, das f enthält, korrespondiert?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1241
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-29


Warum kann die Höhe nicht 0 sein, ist also gleich 1?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
KarlRuprecht
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 191
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-30


Kann ich leider nicht sagen. Die Halme <math>\mathcal{O}_{X,y}</math> hier sind ja nicht zwingend Integritätsbereiche. Das schließt also Höhe Null nicht aus oder übersehe ich da etwas?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1241
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-30


Tipp: Nichtnullteiler



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
KarlRuprecht
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 191
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-30


Achso, du meinst, falls es ein <math>x \in X</math> mit <math>dim(\mathcal{O}_{X,x})=0</math> und <math>f \in m_x</math>, so wäre <math>f</math> in <math>\mathcal{O}_{X,x}</math> ein Nullteiler, da <math>Spec(\mathcal{O}_{X,x}) = x</math>, also <math>m_x = \sqrt{0}</math>. Widerspruch wegen Wahl von f. Oder meinst du was Anderes?

Also liefert hier das KHI zunächst nur eine Schranke nach oben?




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
KarlRuprecht hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]