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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Verdrillte Garbe über projektiven Gerade
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Universität/Hochschule Verdrillte Garbe über projektiven Gerade
KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-03


Hallo,

hätte da folgende Frage:

Wir haben zuletzt über der projektiven Gerade <math> \mathbb{P}^1 _k </math> die sogenannte "verdrillte" Garbe <math>\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 _k}(1)  </math> (engl.: twisted sheaf) definiert. Dabei wurde am Rande erwähnt, dass jene als Geradenbündel in gewiser Weise zum Möbiusband isomorph sei, was mir leider nicht ersichtlich erscheint.
Wie kann man sich das möglichst anschaulich / geometrisch klar machen?

Bem.: Kommt die bezeichnung "verdrillt" auch daher?




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-03


Ist dir <math>\mathds{P}^1(\mathds{R}) \cong S^1</math> klar? Kennst du die Klassifikation der Geradenbündel auf <math>S^1</math>?



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-03


Die Isomorphie, ja, die Klassifikation leider nicht.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-03


Noch ein Hinweis: Das Möbiusband entsteht durch das Verkleben von zwei trivialen Geradenbündeln auf <math>S^1 \setminus \{1\}</math> bzw. <math>S^1 \setminus \{-1\}</math>. Der Kozyklus ist <math>-1</math>; diese Zahl gibt an, was auf dem Durchschnitt passiert. Das ist beim Serre-Twist genauso.



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-04


Ja, vielleicht verstehe ich es. <math>S^1</math> ist ja im Mobiusband eingebettet und aus der oberen Isomorphie können wir den Punkt <math>(x:y) \in \mathbb{P}^1</math> mit einem Punkt <math>s_{(x:y)}</math> auf S^1 stetig identifizieren. Nach dem Wiki-Beispiel zu Geradenbündeln bestitzt das MB die Sturuktur eines Geradenbündels. Mit ganz viel Fantatsie könnte ich auf die Idee kommen, dass der Basisvektor <math> e_{(x:y)}</math>, der die Faser (= 1D Vektorraum) zum "Aufpunkt" <math> s_{(x:y)}</math> aufspannt, durch <math>(x:y)</math> bzw das Verhältnis x/y in der 2D Ebene - lokal orthogonal zu <math>S^1</math> am <math> s_{(x:y)}</math> - "gerichtet" wird , sodass der zugehörige 1D VR stets im MB liegt: parallel zur roten Linie im Bild unten. Wenn man also die <math>(x:y)</math> durchläuft (blaue Linie) "verdreht" sich der Basisvektor <math>e_{(x:y)} </math> jeweils am korrespodierenden Punkt <math> s_{(x:y)}</math> ständig entlang des MB. Diese Verdrillung entspräche der des MB und wird beim Kartenwechsel zwischen beiden affinen Mengen durch den Kozyklus "übersetzt" und reguliert somit die Anzahl der "Twists" (z.B. für <math>\mathcal{O}(1)</math> genau ein), da man nicht mit einer Karte auskommt. Kann man das so sehen?






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