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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Korrespondenz tautologischer Geradenbündel und verdrillte Garbe
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Universität/Hochschule Korrespondenz tautologischer Geradenbündel und verdrillte Garbe
KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-04


Hallo,

habe mich zuletzt mit der Dualitätsaussage zur Korrespondenz zwischen dem tautologischem Geradenbündel und der verdrillter Garbe <math>\mathcal {O}(1)</math> auf der projektiven Gerade <math> \Bbb CP^1</math> auseinandergesetzt. Soweit mein bisheriger Kenntnisstand:

Wir haben <math>\mathcal {O}(-1)</math> als den tautolgischen Geradenbündel <math>X</math> von <math> \Bbb CP^1</math> definiert, wobei <math>X=\{(z,l) \in \Bbb C^2 \times \Bbb CP^1 : z \in l \}</math> zusammen mit kan. Projektion <math>X \to \Bbb CP^1</math> gegeben sei (Geradenbündel-Eigenschaft: offensichtlich).

Nun gibt es folgendes Problem:
Wir definierten <math> \mathcal {O}(1):= \mathcal {O}(-1)^{\vee}</math>  wobei <math> \mathcal {O}(-1)^{\vee}</math>  sich in zwei äquivalenten Weisen definieren lässt :

Zunächst zu fordern, dass <math> \mathcal {O}(-1) \otimes \mathcal {O}(1)= \mathcal {O}_{\Bbb CP^1}</math> gilt, sei äquivalent zur Definition <math> \mathcal {O}(-1)^{\vee} :=  \underline{Hom}_{\mathcal{O}_{\Bbb CP^1}}(\mathcal{O}(-1),\mathcal{O}_{\Bbb CP^1})</math>  (dies soll aus der Isomophie der Evaluationsabbildung <math>ev:\mathcal{O}(1) \otimes \underline{Hom}_{\mathcal{O}_{\Bbb CP^1}}(\mathcal{O}(-1),\mathcal{O}_{\Bbb CP^1}) \to \mathcal{O}_{\Bbb CP^1})</math> folgen).


Die andere (klassische) Möglichkeit <math> \mathcal {O}(1)</math> zu definieren sei folgende (vgl. mit Liu's AG, Seite 165):

Wir haben <math> \Bbb CP^1 = Proj (B)</math> wobei <math>B = \oplus _n  B_n:=\mathbb{C}[X,Y] </math> eine graduierte <math>(\mathbb{C}</math>-Algebra auf kanon. Wiese sei (durch Polynomgrade). Wir definieren <math>B(n)</math> as eine neue graduierte <math>(\mathbb{C}</math>-Algebra mittels Vorschrift <math>B(n)_m := B_{n+m}</math>.

Der <math> \mathcal {O}_{\Bbb CP^1 }</math> -Module <math> \mathcal {O}(n)</math> wird definiert durch <math> \mathcal {O}(n) := \widetilde{B_n}</math> .

Es erübrigen sich für mich zwei Fragen:

1. Wieso ist die oben definierte Evaluationsbb. <math> ev:\mathcal{O}(1) \otimes \underline{Hom}_{\mathcal{O}_{\Bbb CP^1}}(\mathcal{O}(-1),\mathcal{O}_{\Bbb CP^1}) \to \mathcal{O}_{\Bbb CP^1}</math> ein <math> \mathcal{O}_{\Bbb CP^1}</math>-Modul Isomorphismus.

2.: Wieso sind die beidden Definitionen von <math> \mathcal {O}(1)</math> äquivalent?

Zur zweiten Frage habe ich keine Idee; zur ersten haben habe ich mir folgende Gedanken gemacht:
Da lokal jede invertierbare Garbe (ins. auch Geradenbündel <math>\mathcal {O}(-1)</math>) lokal isomorph zur Strukturgarbe <math>\mathcal{O}_{\Bbb CP^1}</math> ist ( dies hieße, dass zu jedem <math> x \in \Bbb CP^1</math> ex offne Umgebung <math> U </math> mit <math>\mathcal {O}(-1)|_U \cong \mathcal{O}_{\Bbb CP^1}|_U =\mathcal{O}_U </math>) können wir OBdA affines <math> U = Spec(R) </math> betrachten auf dem <math> \mathcal{O}(1)|_U \cong \mathcal{O}_U </math> gilt (lokales Problem).

Nun entsprechen nach einer Kategorienäquivalenz auf affinem Schema <math> U = Spec(R) </math> die Morphismen zwischen quasikohärenten Garben den R-Modul-Homomorphismen.

Folglich <math>\mathcal{O}(1) \otimes \underline{Hom}_{\mathcal{O}_{\Bbb CP^1}}(\mathcal{O}(-1),\mathcal{O}_{\Bbb CP^1})|_U \cong \mathcal{O}(1)|_U \otimes \underline{Hom}_{\mathcal{O}_{\Bbb CP^1}}(\mathcal{O}(-1)|_U,\mathcal{O}_{\Bbb CP^1}|_U) </math>
<math> \cong \mathcal{O}(1)|_U \otimes Hom_{R-Mod} (R,R)</math>, wobei ich hier ausnutzen möchte, dass <math>Hom_{R-Mod} (R,R) \cong R</math> (Bild von 1 legt den ganzen Morphismus fest), aber ab da bleibe ich auch stecken. Meine Intention ist die Isomorphie von ev lokal zu zeigen (folglich würde sie auch auf Halmen gelten) und dies genügt ja, um Garbenisomorphie zu zeigen.




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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-04


Hi,

ja, genau: ev ist eine Abbildung von Geradenbündeln, die lokal ein Isomorphismus ist, also auch global. Was ist daran unklar? <math>R \otimes_R \mathrm{Hom}_R(R,R) \to R</math> ist ein Isomorphismus.



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-04


Ja, gut, sobald ich die lokale Isomorphie hätte, wäre es klar. Also fast habe ich es. Da läge  noch die Schwierigkeit darin bei Isomorphie-Umformungen
<math>\mathcal{O}(1) \otimes \underline{Hom}_{\mathcal{O}_{\Bbb CP^1}}(\mathcal{O}(-1),\mathcal{O}_{\Bbb CP^1})|_U \cong \mathcal{O}(1)|_U \otimes \underline{Hom}_{\mathcal{O}_{\Bbb CP^1}}(\mathcal{O}(-1)|_U,\mathcal{O}_{\Bbb CP^1}|_U) </math>
<math> \cong \mathcal{O}(1)|_U \otimes Hom_{R-Mod} (R,R)  \cong \mathcal{O}_U \otimes Hom_{R-Mod} (R,R)</math> am Ende bei <math> ... \cong \mathcal{O}_U</math> zu gelangen. Da fehlt mir noch ein Argument.
Weißt du wie diese (QCoh)-(R-Mod)-Äquivalenz (gilt ja für affine Scemata) auf Morphismen sich mit Tensorprodukten verträgt? Wäre nämlich ganz cool, wenn die mit Tensorprodukten vertauschen würde :)

Fällt dir was zur zweiten Fragen ein?



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-04


Ich habe meinen Beitrag oben editiert.

Ich glaube, der Funktor vertauscht mit Tensorprodukten.



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-04


Ja, super, danke. Bei der 1. Frage war diese Tensorverträglichkeit offenbar das fehlende Puzzlestück.



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-04


Bei der zweiten Frage könnte man vielleicht verwenden, dass die Picardgruppe des projektiven Raumes isomorph zu <math>\mathbb{Z}</math> ist, erzeugt von <math>\mathcal{O}(\pm1)</math>.



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-04


Blöde Frage, aber beim 1. Teil sind wir ja damit ausgekommen, ohne den Morphismus ev explizit hinzuschreiben. Wie ist er denn genau definiert? In Liu wird nur die Existenz davon erwähnt :/

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-04


2017-11-04 17:54 - kurtg in Beitrag No. 5 schreibt:
Bei der zweiten Frage könnte man vielleicht verwenden, dass die Picardgruppe des projektiven Raumes isomorph zu <math>\mathbb{Z}</math> ist, erzeugt von <math>\mathcal{O}(\pm1)</math>.

Aus diesem Argument werde ich leider nicht schlau...



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-11-04


Sei allgemein <math>(X,\mathscr{O}_X)</math> ein lokal geringter Raum und <math>\mathscr{L}</math> ein Geradenbündel auf <math>X</math>. Dann gibt es einen Morphismus <math>\mathscr{L} \otimes_{\mathscr{O}_X} \mathscr{H}\mathrm{om}(\mathscr{L},\mathscr{O}_X) \to \mathscr{O}_X</math>.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-04


2017-11-04 18:00 - kurtg in Beitrag No. 8 schreibt:
Sei allgemein <math>(X,\mathscr{O}_X)</math> ein lokal geringter Raum und <math>\mathscr{L}</math> ein Geradenbündel auf <math>X</math>. Dann gibt es einen Morphismus <math>\mathscr{L} \otimes_{\mathscr{O}_X} \mathscr{H}\mathrm{om}(\mathscr{L},\mathscr{O}_X) \to \mathscr{O}_X</math>.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]

Jaja, genau, aber wie ist er auf Schnitten definiert?



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-11-04


Lokal ist das einfach <math>R \otimes_R \mathrm{Hom}_R(R,R) \to R</math>, und diese Morphismen verkleben.



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-04


Achso, ja klar. Verträglichkeit auf Überschneidungen ist dann ja gegeben. Danke.



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kurtg
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2017-11-04 17:58 - KarlRuprecht in Beitrag No. 7 schreibt:
2017-11-04 17:54 - kurtg in Beitrag No. 5 schreibt:
Bei der zweiten Frage könnte man vielleicht verwenden, dass die Picardgruppe des projektiven Raumes isomorph zu <math>\mathbb{Z}</math> ist, erzeugt von <math>\mathcal{O}(\pm1)</math>.

Aus diesem Argument werde ich leider nicht schlau...
Du musst einfach zeigen, dass beide Geradenbündel die Picardgruppe erzeugen, und dann verwenden, dass es genau zwei Erzeuger gibt, von denen der eine keine globalen Schnitte hat, wodurch man die beiden Erzeuger unterscheiden kann.



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KarlRuprecht
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Ja, ist einleuchtend. Vielen Dank nochmals.



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