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 Singularität -> Holomorphe Funktion |
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John_sen
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 |  Themenstart: 2017-11-11
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Hallo Matroids-Community,
ich hätte eine Frage bzgl. Holomorphen Funktionen.
Die Funktion lautet:
f(z) = e^(a*z)/(1+e^z)
Besimmt werden sollen alle Singularitäten.
Ich weiß das es 3 unterschiedliche Typen von Singulariäten gibt:
-hebbare
-Polstelle
-weseentliche Singulatriät
Meine Vermutung wäre das ich die gesuchten Singularitäten mittels der Laurent-Reihe bestimmen kann...
deren Form gegeben ist mit:
f(z) = sum(ak(z-z0)^k,k=-\inf ,\inf )
für einen Tipp bzw. Ansatz wäre ich mehr als dankbar.
Viele Grüße,
John
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Ex_Senior
|  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-11
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Hallo John,
Laurentreihen benötigst Du nicht unbedingt. Wenn eine Funktion g in 0 eine hebbare Singularität oder Polstelle hat, gibt eine lokale Darstellung
$g(z) = z^k h(z)$
in einer Umgebung von 0 mit $h(0)\neq 0$. Für $k<0$ ist es eine Polstelle und für $k\geq 0$ eine hebbare Singularität.
Bei der Aufgabe sollte man auch beachten, dass exp in $\IC$ eine periodische Funktion ist.
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John_sen
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-12
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Hallo Tom,
bei der Aufgabe ist noch gegeben, das 0 < a < 1 ist.
Ich stehe gerade auf dem Schlauch ...
wie überprüfe ich, welcher Typ von Singulariät vorliegt und wie bestimme ich diese nun genau?
Hättest du mir diesbezüglich einen Ansatz.
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-12
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Fangen wir erst einmal mit den möglichen Singularitäten an. Wo liegen diese?
\hideon
Nullstellen des Nenners.
\hideoff
Die Bedingung für a ist hier nicht so wichtig. Hast du das Kriterium verstanden, was ich angegeben habe?
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John_sen
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-12
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Vorab, danke das du dir die Zeit nimmst!
Nullstellen des Nenners von 1+e^z
1+e^z =0
e^z =-1
z =-ln (1)
z= 0
Nullstelle bei z=0.
richtig ... ?
Dein Kriterium habe ich verstanden, ich denke wenn ich es anwende, werden sich die restlichen Fragen automatisch klären.
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John_sen
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-12
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Nun wende ich die lokale Darstellung von dir an, um zu prüfen ob eine hebbare Singularität oder eine Polstelle vorliegt.
g(z) =z^k*h(z)
z=0 ... was ist denn h(z) ?
k wäre hier bei unserem Beispiel k=0, d.h für k>= 0 liegt eine hebbare Singularität an der Stelle z=0 vor.
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Ex_Senior
| Beitrag No.6, eingetragen 2017-11-12
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Nochmal zurück zu den Nustellen (es gibt mehrere). z=0 ist keine, da exp(0)=1. Abgesehen von einem Vorzeichenfeher ($\ln(-x)\neq -\ln(x)$) kannst Du im komplexen nicht so einfach ln auf eine Gleichung anwenden, da der Logarithmus in $\IC$ nicht allgemein definiert ist. Zum lösen von $-1=\exp(z)=\exp(x)\exp(iy)$ ist es sinnvoll Real- und Imaginärteil von z zu trennen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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John_sen
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-12
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okay dann stelle ich nun für die Funktion
1+e^z, das ganze um, das mir ein Real-und Imaginärteil angezeigt wird.
1+e^z
e^z =-1
e^(x+iy) =-1
e^x(cos(y) +i*sin(y)) =-1
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Ex_Senior
| Beitrag No.8, eingetragen 2017-11-12
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Ich meinte nur den Exponenten z. Was weißt Du über $e^x$ bzw. $e^{iy}$?
Edit: Zu schnell gelesen $e^x(\cos(y) +i\cdot \sin(y)) =-1$ geht auch.
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John_sen
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-12
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ich weiß über e^x -> das dies meinen Realteil darstellt und e^(i*y) meinen Imaginäranteil.
Ich vermute nun kommt der Schritt wo es um die Nullstellen Bestimmung geht, aber beim Vorgehen bräuchte ich nochmals Hilfe, weil ich grad echt den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe ...
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Ex_Senior
| Beitrag No.10, eingetragen 2017-11-12
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x,y sind reell. Daher kannst Du nun in $e^x(\cos(y) +i\cdot \sin(y)) =-1$ Real- und Imaginärteil trennen:
$e^x\cos(y)=-1 \land e^x\sin(y)=0$
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John_sen
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-12
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linke Seite klar.
Rechte Seite mit
-1\and\ e^x*sin(y) noch unklar ... was passiert mit deinem i ?
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Ex_Senior
| Beitrag No.12, eingetragen 2017-11-12
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Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn Re und Im übereinstimmen. Daher für den Imaginärteil $e^x\sin(y)=0$
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John_sen
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-12
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mal ausführlich, mehr für mich als für dich, um nachzuvollziehen was du meinst ...
gegeben war die funktion f(z) = e^(a*z)/(1+e^z)
Bzgl. der Nullstellen wird der Nenner betrachtet.
f(z) = 1+e^z
da wir im Komplexen sind, müssen wir die Funktion (denn Nenner) in einen Real- und Imaginärteil umschreiben.
d.h
-1 = e^x(cos(y)+i*sin(y))
-1 -e^x *cos(y) = e^x*i*sin(y)
wobei links der Realteil steht und Rechts der Imaginärteil.
Logisch das es nun irgendwie weitergehen muss ... aber bitte erläutere mir doch was du im ff. geschriebenen meinst.
e^x *cos(y) = -1 -e^x*i*sin(y) (1)
e^x *cos(y) = -1 \and\ -e^x*i*sin(y) (dein Aufschrieb)
wie kommst du auf dieses \and\
und anscheinend multiplizierst du auch
-e^x *i*sin(y) mit i -> i^2 =-1
e^x *sin(y)
...
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Ex_Senior
| Beitrag No.14, eingetragen 2017-11-12
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$\land$ habe ich nur als "und" zwischen den Gleichungen genutzt. Wenn Du $a+ib= c+id$ lößen möchtest, ist es eine Möglichkeit die Gleichungen $a=c$ und(!) $b=d$ zu lösen. In diesem Fall erhält man die Lösungen zu $e^z = -1$ durch Trennung in Imaginärteil und Realteil, d.h. man hat zwei Gleichungen:
$e^x \cos(y) = -1$ (Realteil) und
$e^x \sin(y) = 0$ (Imaginärteil).
Die x,y, die beide Gleichungen lösen, sind die gesuchten Nullstellen des Nenners. Danach schauen wir uns dann die Singularitäten dazu an.
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John_sen
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-12
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vielen Dank, es hat gedauert aber es hat Klick gemacht.
Meine gelösten x und y, damit sowohl Real- als auch Imaginärteil erfüllt sind lauten:
x=0 und y= 2\pi*n + \pi
wobei n \el\ \IZ
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Ex_Senior
| Beitrag No.16, eingetragen 2017-11-12
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\quoteon(2017-11-12 15:21 - John_sen in Beitrag No. 15)
x=0 und y= 2\pi*n + \pi
wobei n \el\ \IZ
\quoteoff
Das läßt dann noch schöner schreiben: $z=(2n+1)\pi i$. Für diese Stellen kannst Du dann die Nullstellenordnung von Zähler und Nenner bestimmen. Diese liefern Dir dann eine Null-/Polstellenordnung. Eine wesentliche Singularität gibt es hier nicht.
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John_sen
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-12
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die Nullstellenordnung zu bestimmen von Zähler und Nenner funktioniert, indem ich nun mein z= (2n+1)*pi*i in meine eigentliche Funktion f(z)einsetze ? ...
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Ex_Senior
| Beitrag No.18, eingetragen 2017-11-12
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Das ist noch nicht alles. Einsetzen liefert nur, ob eine Nullstelle vorliegt. Die Ordnung erhält man entweder durch eine Potenreihenentwicklung oder Ableitungen(!). Eine Funktion g hat eine Nullstelle der Ordung n in $z_0$, falls alle Ableitungen $g^{(k)}(z_0)=0$ verschwinden für $0\leq k < n$ und $g^{(n)}(z_0)\neq 0$
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John_sen
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-13
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Dann gehe ich mal den Weg über die Potenzreihe...
f(z) = e^(a*z)/(1+e^z)
Potenzreihendarstellung von exp(z) = sum(z^n/n!,n=0,\inf )
a*sum(z^n/n!,n=0,\inf ) * 1/(1+ sum(z^n/n!,n=0,\inf ))
das wäre jetzt die Potenzreihendarstellung ...
sollte ich diese nun getrennt betrachten, d.h Zähler sowie Nenner seperat? Bisher ging es ja lediglich "nur" um den Nenner, somit meine Vermutung auch an diesem jetzt zu erkennen welche Ordnung der Pol besitzt?
Ich hätte noch eine Verständnisfrage bzgl. z= (2n+1)*\pi*i
-> das sind meine Nullstellen, korrekt?
Vielen Dank bis zu dem Punkt schon einmal!
LG
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Ex_Senior
| Beitrag No.20, eingetragen 2017-11-13
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Die $z=(2n+1)\pi i$ sind die Nullstellen den Nenners, also die Stellen an denen $f(z)$ nicht definiert ist.
Du hast zwar f nun als Produkt von zwei Potenzreihen dargestellt. Diese hilft hier aber nicht weiter. Wenn Du nun die Singularität bei z.B. $z=\pi i$ untersuchen möchtest, welche Potenzreihendarstellung von f benötigst Du dann?
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John_sen
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-13
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Potenzreihendarstellung der Form:
f(z) =sum(ak*(z-z0),k=0,\inf )
bzw. in meinem Fall:
f(z)= (z-z0)*e^(a*z)/(1+e^(z)
korrekt ?
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Ex_Senior
| Beitrag No.22, eingetragen 2017-11-13
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Leider nein. Da in $z_0$ eine Singularität vorliegt, ist die allgemeine Version
$$ f(z) \sum_{-\infty}^\infty a_k (z-z_0)^k $$
für eine Polstelle
$$ f(z) \sum_{k=-N}^\infty a_k (z-z_0)^k $$
Mit
$$ \frac{\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n z^n}{n!}}{ 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}} $$
hat das auch wenig zu tun. Über Potenz-/Laurentreihen wirst Du meiner Einschätzung nach nicht so weit kommen. Versuch Mal mit dem Hinweis aus Beitrag 18 Linearfaktoren $(z-z_0)^k$ vom Zähler und Nenner abzuspalten.
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