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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » konstante Prägarbe
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Universität/Hochschule J konstante Prägarbe
Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-16


Hallo Leute,

mir ist nochmal eine Aufgabe zu Prägarben untergekommen, allerdings habe ich hier keine Ahnung, wie ich vorgehen muss, hier die Aufgabe.
Zeige, dass die konstante Prägarbe, also F(U)=Y mit UcX und einem Halm am Punkt x zusammen mit Y einen Isomorphismus bildet.
Mir ist klar, dass es eine Abbildung f: F -> Y benötige, die injektiv, surjektiv und strukturerhaltend ist, aber wie gehe ich vor.
Wäre schön, wenn mir jemand erklären könnte, was es hier mit diesem Halm auf sich hat und wie man hier anfangen muss, oder ist f=id und ich mache das unnötig kompliziert? Danke für Hilfen und Lösungsansätze.

Schöne Grüße
Alif



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-16


Du hast die Aufgabenstellung nicht korrekt wiedergegeben. Die Aufgabe ist vermutlich: Sei <math>F</math> die konstante Prägarbe auf einem Raum <math>X</math> mit dem Wert <math>Y</math>. (Ich gehe davon aus, dass <math>Y</math> eine Menge ist, sodass also <math>F</math> eine Prägarbe von Mengen ist. Wenn es anders sein sollte, teile das gerne mit.) (Hieran sieht man übrigens erneut, warum man bei Prägarben nicht <math> F(\emptyset)=0</math> fordern sollte.) Sei <math>x \in X</math>. Zu zeigen ist, dass es einen Isomorphismus <math>F_x \cong Y</math> gibt. Weil wir es hier mit einer Prägarbe von Mengen zu tun haben, ist also einfach eine Bijektion <math>F_x \cong Y</math> gesucht.
 
Nun ist der Halm <math>F_x</math> als Kolimes der Mengen <math>F(U)</math> definiert, wobei <math>U</math> über die offenen Umgebungen von <math>x</math> läuft. Konkret heißt das: (1) Für jede offene Umgebung <math>U</math> von <math>x</math> und jeden Schnitt <math>s \in F(U)</math> haben wir ein assoziiertes Element <math>s_x \in F_x</math>, den sogenannten Keim von <math>s</math>, (2) Jedes Element von <math>F_x</math> hat diese Form, (3) Für zwei Schnitte <math>s \in F(U)</math>, <math>t \in F(V)</math> gilt genau dann <math>s_x = t_x</math>, wenn es eine offene Umgebung <math>W</math> von  <math>x</math> gibt mit <math>W \subseteq U</math> und <math>W \subseteq V</math> und <math>s|_W = t|_W</math>. Soweit erst einmal die allgemeine Definition. Beachte insbesondere, dass wir eine kanonische Abbildung <math>F(X) \to F_x</math> haben, nämlich <math>s \mapsto s_x</math>.
 
Bei der konstanten Prägarbe ist nun <math>F(U)=Y</math> für alle <math>U</math>. Insbesondere ist die genannte kanonische Abbildung gegeben durch <math>Y \to F_x</math>. Überlege dir nun anhand der obigen Beschreibung, dass diese Abbildung bijektiv ist.



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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-17


Danke schon mal für die Hilfe, bevor ich mir das Anhand deines zweiten Abschnittes überlege allerdings nochmal kurze Fragen und Anmerkungen.
Anmerkungen:
Ja, es handelt sich um Mengen, konkret soll dies auch mit den reellen Zahlen oder anderen leicht vorstellbaren Zahlenmengen gemacht werden.
Fragen:
Warum benötige ich nur die Bijektion, und nicht den Erhalt der Struktur?
Die Prägarbe ist gegeben durch eine Abbildung F: U -> Y und der Isomorphismus durch eine Abbildung g: Y -> F_x ist das nicht irgendwie doppelt gemoppelt und sofort einzusehen durch die Verknüpfung gof ?

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Wäre super, wenn du mir die Fragen verständlich beantworten könntest, denn am Gedanken, dass dort zwei Abbildungen "vermischt" werden und an einem konkreten Beispiel, um ein Gefühl für Halme zu bekommen, hat es bei meinem ersten Lösungsversuch dieser Aufgabe gescheitert. Danke



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-17


2017-11-17 01:18 - Alif in Beitrag No. 2 schreibt:
Warum benötige ich nur die Bijektion, und nicht den Erhalt der Struktur?
 
Wenn es um Mengen geht, ist die Struktur "leer". Ein Isomorphismus zwischen Mengen ist einfach dasselbe wie eine Bijektion.

Die Prägarbe ist gegeben durch eine Abbildung F: U -> Y und der Isomorphismus durch eine Abbildung g: Y -> F_x ist das nicht irgendwie doppelt gemoppelt und sofort einzusehen durch die Verknüpfung gof ?
 
Du bringst hier einiges durcheinander. Wiederhole die Definition einer Prägarbe (das ist keine Abbildung U -> Y). Wiederhole die Definition des Halmes, was ich für dich oben noch einmal gemacht habe. Dann kannst du die Aufgabe mit meinen Hinweisen bearbeiten.


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Zunächst einmal ist das C, was du hingeschrieben hast, keine Garbe. Vermutlich meinst du die Garbe der stetigen Funktionen auf <math>\IR^2</math>. Hierbei wird jeder offenen Teilmenge <math>U \subseteq \IR^2</math> der Ring / die Menge der stetigen Funktionen <math>U \to \IR</math> zugeordnet, also nicht nur für <math>U=\IR^2</math>.

Die Definitionen von <math>U_1</math> und <math>U_2</math> sind unklar. Verwechselst du hier <math>(A,B)</math> mit <math>A \times B</math>?
 
Die Bezeichnung <math>\id</math> für etwas, was nicht die Identität ist, ist nicht ratsam.
 
Nein, <math>\id_x = \sin_x</math> gilt nicht. Die Gleichung würde bedeuten, dass es eine offene Umgebung der Null gibt, auf der <math>\sin(y)=y</math> gilt. Das ist nicht der Fall, und du hast sie auch nicht angegeben. Zwar gilt <math>\lim_{y \to 0} \sin(y)/y = 1</math>, aber das hat hiermit nichts zu tun.
 
Hier ein anderes Beispiel: Betrachten wir einfach die Garbe der stetigen Funktionen auf <math>\IR</math>. Betrachte die stetige Funktion <math>f : \IR \to \IR</math> mit <math>f(x)=0</math> für <math>-1 \leq x \leq +1</math>, <math>f(x)=x+1</math> für <math>x \leq -1</math> und <math>f(x)=x-1</math> für <math>x \geq +1</math>. Es bezeichne ferner <math>0 : \IR \to \IR</math> die konstante Nullfunktion und <math>x := 0 \in \IR</math> sei der Ursprung. Dann gilt <math>f \neq 0</math>, aber <math>f_x = 0_x</math>. Denn es gilt <math>f|_U = 0|_U</math> für <math>U := \left]-1,+1\right[</math>.



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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-18


Danke für deine Antwort, ich versuche nun nochmal alles zu sortieren und werde mich wohl hier am besten erst wieder zu Wort melden, wenn ich eine Idee habe, aber um nochmal auf die Beantwortung meiner Fragen einzugehen, noch ein paar kurze Nachfragen oder Anmerkungen, da ich da zum Teil etwas im Kopf habe, das nicht hilft oder ich eben zu gar keinem Ergebnis komme, da ich leider nicht alles weiß.

Warum ist die Struktur von Mengen leer? Daraus würde schließlich folgen, dass die Struktur von jeder (Prä)Garbe leer ist...

Ich habe mir die Definition von (Prä)Garben nochmal angesehen und natürlich sind das Mengen eben mit oder ohne einer lokalen Komponente.
Wie hat es dann allerdings der Professor gemeint, als er mir zum Verständnis gesagt hat, dass man (Prä)Garben wie eine Abbildung verstehen kann: Man steckt eine Teilmenge U vom topologischen Raum X in die (Prä)Garbe F hinein und heraus kommt die Menge Y?

Was das Beispiel angeht, ist mir inzwischen auch klar geworden, warum das nicht passt, diese Abbildungen stimmen wirklich nur direkt im Ursprung überein, aber insbesondere kann man hier eben auch mal sehen welch triviale Notationen man in den Semesterferien vergessen kann, wenn man jeden Tag beim Arbeiten ist, für Mathe insbesondere Topologie nur am Wochenende Zeit ist, na ja das wird hoffentlich wieder besser.

Ich hoffe auf ein paar Antworten, des Weiteren bin ich zuversichtlich hier bald Lösungsideen zu haben, denn gestern habe ich auch Aufgaben zu Halmen gelöst, eigentlich hatte ich die Lösungen schon mehrere Wochen, ich habe nur mal wieder nicht an mich geglaubt, da ich meine Lösungen zu trivial fand, zum Glück sagte eine Komilitonin gestern, die sich mit Riemannschen Flächen auskennt, dass das stimmt...Danke



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Alif hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Alif hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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