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  Variationsrechnung: Lösung der Eulergleichung soll eine Parabel sein |
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Trajektorie
Junior 
Dabei seit: 23.11.2017
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2017-11-23
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Hallo Matheplanet,
ich poste grade zum ersten Mal hier, also mache ich hoffentlich nichts falsch.
Mein Problem ist Folgendes: Ich arbeite mich grade durch Kapitel 9 von Mary L. Boas "Mathematical methods in the physical sciences". Es geht um Variationsrechnung:
(S.478)"Write and solve the Euler equations to make the following integrals stationary.
["Schreibe die Eulergleichungen auf und löse sie um die folgenden Integrale stationär zu machen."
1.1 int(sqrt(x) sqrt(1+y'^2),x,x_1,x_2)
Das Integral ist ja anscheinend nicht von y direkt abhängig sondern nur von y'. Ich kann also gleich die eine Hälfte der Eulergleichung = 0 setzen:
diff(pdiff(F,y'),x) = 0
Wobei F = sqrt(x) sqrt(1+y')
Ich bekomme dann:
\[0 = \frac{ d }{ dx } \frac{ \partial F }{\partial y' } =
\frac{ \partial^2 F }{\partial^2 y'}y'' + \frac{ \partial^2 F }{\partial x \partial y' } =
\frac{ \partial^2 }{\partial^2 y'} \sqrt{x}\sqrt{1-y'^2}y'' + \frac{ \partial^2 }{\partial x \partial y'} \sqrt{x}\sqrt{1-y'^2} =
\frac{ \sqrt{x}y'' }{ \sqrt{1+y'^2} } + \frac{ y'y'' \sqrt{x}}{ \sqrt[3]{1+y'^2} } + \frac{ y' }{2 \sqrt{x} \sqrt{1+y'^2} } \]
Wichtige Zwischenrechnung: \(\frac{\partial F}{\partial y'} = \frac{ \sqrt{x}y'}{ \sqrt{1+y'^2}}\)
Für mich sieht das nicht nach etwas aus, was ich einfach mal so eben integrieren kann, um da eine gesuchte Funktion y' herauszubekommen. Man muss auch bedenken, dass diese Aufgabe sehr früh im Kapitel auftaucht, in dem bisher eigentlich nur die Eulergleichung hergeleitet wurde und ein paar Beispiele gebracht wurden.
Ich vermute ich mache es mir viel zu schwer und habe irgendetwas übersehen oder einen Rechenfehler gemacht, ich würde freuen, wenn ihr mir helfen könntet.
In der Lösung steht nur "Parabola". Ich sehe in meiner Lösung da noch keinen eindeutigen Hinweis auf eine Parabel.
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Trajektorie
Junior 
Dabei seit: 23.11.2017
Mitteilungen: 8
|  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-23
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Angeblich habe ich selber das "ok-Häkchen" gesetzt, wie bekomme ich das wieder weg? Nicht, dass ich jetzt deswegen keine Antworten bekomme.
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
 | Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-23
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Huhu Trajektorie,
herzlich willkommen hier auf dem Planeten!
\quoteon(2017-11-23 15:58 - Trajektorie im Themenstart)
ich poste grade zum ersten Mal hier, also mache ich hoffentlich nichts falsch.
\quoteoff
Nein, ganz im Gegenteil. Toll, dass du gleich bei deinem ersten Beitrag \(\LaTeX\) benutzt. Und sogar die Aufgabenstellung übersetzt du. Wir sind hier aber schon des Englischen mächtig :)
Zur Rechnung: Du hast doch:
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\,\frac{\partial F}{\partial y'}=0\)
Setzen wir ein:
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\,\frac{\sqrt{x}y'}{\sqrt{y'^2+1}}=0\)
Das Integrieren wir:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{x}y'}{\sqrt{y'^2+1}}=c_1\)
Kommst du nun weiter?
Gruß,
Küstenkind
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Trajektorie
Junior
Dabei seit: 23.11.2017
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-24
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Hallo Kuestenkind!
danke für deine Antwort! Ich habe also übersehen, dass ich die \(\frac{d}{dx}\) Ableitung gar nicht mit ausrechnen muss, da ich ja später noch über x integrieren will. Ich glaube damit sollte ich jetzt weiter kommen. Ich werde nochmal posten, sobald ich Zeit habe, das zuende zu rechnen.
Vielen Dank nochmal!
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Trajektorie
Junior
Dabei seit: 23.11.2017
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-25
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So, ich habe die Aufgabe jetzt zuende gerechnet:
\[\frac{\sqrt{x}y'}{\sqrt{y'^2+1}} = c_1\]
Wenn ich das quadriere und den Nenner auf die andere Seite ziehe bekomme ich:\[
xy'^2 = c_1^2(y'^2+1)\\
y'^2(x-c_1^2) = c_1^2\\
y' = \sqrt{\frac{c_1^2}{x-c_1^2}}\\
=> y = \int{\sqrt{\frac{c_1^2}{x-c_1^2}}}dx = \sqrt{c_1^2} \int{\frac{1}{\sqrt{x-c_1^2}}}dx = 2c_1 \sqrt{x-c_1^2}+c_2
\]
Damit ist meine Lösung eine Wurzelfunktion, was meines Wissens als Parabel gilt. m.E ist die Aufgabe jetzt gelöst, ich würde mich trotzdem freuen, wenn nochmal jemand schauen könnte, ob das alles so richtig ist.
LG Trajektorie
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-25
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Hallo Trajektorie,
deine Lösung stimmt - gut gemacht! Aus \(y=2c_1 \sqrt{x-c_1^2}+c_2\) folgt \((y-c_2)^2=4c_1^2(x-c_1^2)\) und das ist eine nach rechts geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt \((c_1^2,c_2)\).
Dir ein schönes Wochenende.
Gruß,
Küstenkind
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Trajektorie
Junior
Dabei seit: 23.11.2017
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-25
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Super, danke für deine Hilfe Kuestenkind!
Ich hoffe du hast auch ein schönes Wochenende.
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Trajektorie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Trajektorie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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