| Autor |
  Lösung einer Differentialgleichung |
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DeadMaN
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 19.05.2004
Mitteilungen: 41
 |  Themenstart: 2004-07-20
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Habe Probleme mit folgender Aufgabe (mir fehlt "die Idee" für die Lösung):
Berechnen Sie die Lösung f der Differentialgleichung
f'''- f''+ 4\pi^2 f'- 4\pi^2 f = 0
zur Anfangsbedingung
f(0) = 1, f'(0) = 4\pi+1 und f''(0) = 1
Schonmal Danke
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shredhead
Senior 
Dabei seit: 24.02.2004
Mitteilungen: 5146
Wohnort: Aachen, jetzt in München
 | Beitrag No.1, eingetragen 2004-07-20
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Hi Deadman
Ich würde es mal mit dem Exponentialansatz versuchen:
\
f(x)=e^(rx)
f´(x)=r*e^(rx)
f´´(x)=r^2*e^(rx)
f´´´(x)=r^3*e^(rx)
Das in die DGL einsetzen und das Polynom 3. Grades lösen!
Gruß
Jörg
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Harvester
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 11.11.2003
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Wohnort: Saarland
| Beitrag No.2, eingetragen 2004-07-20
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Huhu DeadMan =)
also zuerstmal musst du die Basen des Lösungsraums ausrechnen, die erhälst du wenn du das charakteristische Polynom aufschreibst und die Zerlegung in komplexe Linearfaktoren machst.
kommst du damit schon weiter ? oder hängt es noch woanders ? wenn ja meld dich eifnach bei mir dann kann ich dir vielleicht besser helfen
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
Wohnort: Magdeburg
 | Beitrag No.3, eingetragen 2004-07-20
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Hi DeadMaN,
die dir fehlende Idee ist die Erkenntnis, dass es sich um eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten handelt. Dafür gibt es einen speziellen Ansatz, der auf eine charakteristische Gleichung führt. Ist dir das vertraut?
Gruß Eckard
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
 | Beitrag No.4, eingetragen 2004-07-20
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Hallo, ich komme nach Einsetzen von y=e^(\lambda*x) auf:
e^(\lambda*x)*(\lambda^3-\lambda^2+4*\pi^2*\lambda-4*\pi^2)=0 .
Viele Grüße,Sonnhard.
[ Nachricht wurde editiert von Dr_Sonnhard_Graubner am 2004-07-20 21:49 ]
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.5, eingetragen 2004-07-20
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@Sonnhard: Schreibfehler bei der ersten Ableitung ;-) Nur, damit es niemanden verwirrt.
Gruß Eckard
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.6, eingetragen 2004-07-20
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Hallo Eckard, danke für den Hinweis, Adlerauge!
Viele Grüße,Sonnhard.
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DeadMaN
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.05.2004
Mitteilungen: 41
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2004-07-22
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Hallo Leute danke schonmal, aber komme nicht wirklich weiter.
Der Ansatz von Eckart ist ist mir nicht vertraut.
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DeadMaN
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.05.2004
Mitteilungen: 41
|  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2004-07-22
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Ich habe leider nicht die mögichkeit H-Schema zu bentzen sondern mus PP-Zerlegung benutzen. Aber das bekomm ich einfach nicht hin.
[ Nachricht wurde editiert von DeadMaN am 2004-07-22 16:39 ]
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TobiPfanner
Senior
Dabei seit: 27.07.2003
Mitteilungen: 3622
Wohnort: Weiler
 | Beitrag No.9, eingetragen 2004-07-22
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Hi DeadMaN,
sind $ \l_1\,\l_2\,... , \l_n $ die verschiedenen NST der char.Gleichung
mit den jeweiligen alg. Vielfachheiten $ \n_1\,\n_2\,... , \n_n
dann hat die Lösung $ f $ die Form $ f(x)=sum(sum(c_kj*x^j*exp(\l_k*x),j=0,\n_k-1),k=1,n)
Deine char.Gleichung 3.Ordnung besitzt keine MehrfachNST
somit ist $ f(x)=c_1*exp(\l_1*x)+c_2*exp(\l_2*x)+c_3*exp(\l_3*x)
=>f'(x)=\l_1*c_1*exp(\l_1*x)+\l_2*c_2*exp(\l_2*x)+\l_3*c_3*exp(\l_3*x)
und $ f''(x)=\l_1^2*c_1*exp(\l_1*x)+\l_2^2*c_2*exp(\l_2*x)+\l_3^2*c_3*exp(\l_3*x)
also $ matrix(1,1,1;\l_1,\l_2,\l_3;\l_1^2,\l_2^2,\l_3^2)*matrix(c_1;c_2;c_3)=matrix(f(0);f'(0);f''(0))=matrix(1;4\pi+1;1)
Und um $ \l_1\,\l_2\,\l_3 $ zu ermitteln brauchst du nicht
umbedingt die Cardanische Formel.
Die NST sollten sich in diesem Fall erraten lassen.
Gruß Tobi
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knallbunt
Junior
Dabei seit: 22.07.2004
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.10, eingetragen 2004-07-22
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nach der Polynomdivision hast du:
z^3-z^2+4*\pi^2*z-4*\pi^2 = (z-1)(z+i*2*\pi)(z-i*2*\pi)
Also:
t->e^t
t->e^(-2*\pi*i*t)
t->e^(2*\pi*i*t)
Lösungen sind alle LKen insbesondere
f(t) = e^t +1/i*e^(2*\pi*i*t)-1/i*e^(-2*\pi*i*t)
f(t) = e^t + 2*sin(2*\pi*t)
und f(0) = 1, f'(0) = 4*\pi+1, f''(0) = 1
[ Nachricht wurde editiert von knallbunt am 2004-07-22 17:12 ]
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DeadMaN
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.05.2004
Mitteilungen: 41
|  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2004-07-22
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Danke für deine Mühe, aber
Problem ist nur das die Cardanische Formel nicht Gegenstand der Vorlesung ist und so nicht benutzt werden kann. Und Nullstellen raten ist auch nicht erlaubt.
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
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Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.12, eingetragen 2004-07-22
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Hallo, schreibe doch einfach deine Gleichung
\lambda^3-\lambda^2+4*\pi^2*\lambda-4*\pi^2=0
in der From:
\lambda^2*(\lambda-1)+4*\pi^2*(\lambda-1)=0.
Viele Grüße,Sonnhard.
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PubliusOvidius
Senior
Dabei seit: 26.12.2003
Mitteilungen: 2620
 | Beitrag No.13, eingetragen 2004-07-22
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Hi,
hier würde auch die Laplace Transformation helfen, wenn sie den erlubt ist, bzw in der Vorlesung Thema war!
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DeadMaN
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.05.2004
Mitteilungen: 41
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2004-07-22
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ok danke aber noch ein Problem hab jetzt alles hinbekommen nur bekomme ich die erste und 2. Ableitung nicht hin von:
f(t) = e^t + 2*sin(2*\pi+t)
Kann mir da noch jemand helfen?
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shredhead
Senior
Dabei seit: 24.02.2004
Mitteilungen: 5146
Wohnort: Aachen, jetzt in München
| Beitrag No.15, eingetragen 2004-07-22
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Hi
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Ich hab jetzt nicht verfolgt wie du auf diese Gleichung kommst
aber die Ableitungen sind:
f(t) =e^t+2*sin(2*\pi+t)
f´(t)=e^t+2cos(2*\pi+t)
f´´(t)=e^t-2sin(2*\pi+t)
Gruß
Jörg
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knallbunt
Junior
Dabei seit: 22.07.2004
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.16, eingetragen 2004-07-22
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das sollte
f(t) = e^t + 2*sin(2*\pi*t) sein und nicht e^t + 2*sin(2*\pi+t)
ableitungen sind:
f'(t) = e^t +4*\pi*cos(2*\pi*t)
f"(t) = e^t - 8\pi^2*sin(2*\pi*t)
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DeadMaN
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.05.2004
Mitteilungen: 41
| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2004-07-22
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