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Mathematik » Stochastik und Statistik » Verallgemeinerung des Steinerschen Verschiebungssatzes
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Universität/Hochschule Verallgemeinerung des Steinerschen Verschiebungssatzes
mito
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-18

\(\begingroup\)
Hallo liebe Matheplanet-Community,

ich würde gerne das Folgende beweisen:

Für eine reellwertige, integrierbare Zufallsvariable X gilt:

\[E[(X-a)]^{2}=E[X-E[X]]^{2}+(E[X]-a)^{2}, a \in \mathbb{R} \]
Ich habe zunächst gezeigt, dass Var(X-a)=Var(X) gilt.
Dann habe ich für die linke Seite der Geichung den Verschiebungssatz der Varianz angewendet. Und bin dann ein bis zwei Äquivalenzumformungen später auf diese Gleicheit gekommen:

\[E[(X-a)]^{2}=-E[X-E[X]]^{2}+(E[X]-a)^{2}\]
Kann mir jemand sagen wie es zu diesem unterschiedlichen Vorzeichen rechts neben dem Gleichheitszeichen kommen kann? Oder ist meine Vorgehensweise das Problem?

LG mito
\(\endgroup\)


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Flowsen95
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Aus: Mannheim
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-18

\(\begingroup\)
Hi mito,

die linke Seite ist aber doch keine Varianz. Eine Möglichkeit könnte so aussehen:

\[
\mathbb{E}\left[(X-a)^2\right]=\mathbb{E}\left[(X-\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(X)-a)^2\right]
\]
\(\endgroup\)


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mito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-18

\(\begingroup\)
Ich meinte die Gleichung Var(X-a)=Var(X). Dort habe ich auf der linken Seite den Verschiebungssatz der Varianz angewendet. Rechts habe ich die Defintion der Varianz eingesetzt. Also ergibt sich dann:



\[E[X-a]^{2}-E[(X-a)^{2}]=E[(X-E[X])^{2}\]
Das Umstellen bringt dann den Vorzeichenfehler, der mich so verunsichert.
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Flowsen95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-12-20

\(\begingroup\)
Hallo mito,

der Verschiebungssatz besagt aber
\[
Var(X)=\mathbb{E}(X^2)-\left[\mathbb{E}(X)\right]^2.
\] Ist es damit geklärt?

VG
Flowsen95
\(\endgroup\)


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