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Analysis » Komplexe Zahlen » Winkelidentität
Autor
Universität/Hochschule J Winkelidentität
Jara
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.09.2017
Mitteilungen: 2
  Themenstart: 2017-12-22

Hallo zusammen, Ich stehe leider gerade etwas auf dem Schlauch. Und zwar stellt sich mir die Frage, warum folgendes gelten sollte: abs(e^(i*\theta)-1)<=abs(\theta)<=\pi*0,5*abs(e^(i*\theta)-1) für -\pi<\theta<=\pi Für Hinweise zu einer Ungleichung oder auch beiden, wäre ich sehr dankbar. Grüße Jara

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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-22

Huhu, wenn man keine tolle Idee hat, wie man es elegant lösen kann, bleibt ja immer noch der Weg es nachzurechnen. Für die erste Ungleichung könnte es doch so aussehen: \(\displaystyle |\exp(i\theta)-1|\leq||\theta|\) \(\displaystyle |\operatorname{cis}(\theta)-1|\leq|\theta|\) \(\displaystyle \sqrt{(\cos(\theta)-1)^2+\sin^2(\theta)}\leq|\theta|\) \(\displaystyle \sqrt{2-2\cos(\theta)}\leq|\theta|\) \(\displaystyle \left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\leq\left|\frac{\theta}{2}\right|\) \(...\) Den Rest schaffst du sicherlich alleine. Gruß, Küstenkind edit: Betragsstriche ergänzt.

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Wirkungsquantum
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 812
  Beitrag No.2, eingetragen 2017-12-22

Hallo, versuche zunächst $|e^{i\theta}-1|$ in der komplexen Zahlen Ebene darzustellen, dann wird ersichtlich wieso die erste Ungleichung gilt. Edit: Vorausgesetzt du wolltest nur eine anschauliche Erklärung. \hideon http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/42471_Unbenannt.png \hideoff [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

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