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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Welche Eigenschaften teilen sich äquivalente Kategorien?
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Autor
Universität/Hochschule J Welche Eigenschaften teilen sich äquivalente Kategorien?
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-29

\(\begingroup\)
Wir betrachten folgende Signatur:
- eine Sorte $\mathsf{Ob}$ für Objekte
- eine Sorte $\mathsf{Mor}$ für Morphismen
- ein Funktionssymbol $\mathsf{dom}$ vom Typ "von der Sorte $\mathsf{Mor}$ in die Sorte $\mathsf{Ob}$"
- ein Funktionssymbol $\mathsf{cod}$ vom Typ "von der Sorte $\mathsf{Mor}$ in die Sorte $\mathsf{Ob}$"
- ein Funktionssymbol $\mathsf{id}$ vom Typ "von der Sorte $\mathsf{Ob}$ in die Sorte $\mathsf{Mor}$"
- ein Relationssymbol $\mathsf{comp}$ zwischen drei Termen von der Sorte $\mathsf{Mor}$
($=$ ist standardmäßig auch ein erlaubtes Symbol)

Die Theorie spricht jeweils nur über eine Kategorie. Eine Interpretation legt für die Symbole eine entsprechende Bedeutung fest. Insbesondere tut dies jede Kategorie $C$: $\mathsf{Ob}$ wird als die Objekte von $C$ interpretiert, $\mathsf{Mor}$ als die Morphismen in $C$, ..., $\mathsf{comp}(f, g, h)$ als die Beziehung $h=g\circ f$ (falls da etwas typmäßig nicht passt, dann soll die Aussage als falsch interpretiert werden). Entsprechend der üblichen Definition in der Modelltheorie wird definiert, wann eine Kategorie $C$ einen prädikatenlogischen Satz $\phi$ obiger Signatur erfüllt, $C\models\phi$.

Um die Theorie ein bisschen gemütlicher benutzen zu können, kann man syntaktischen Zucker einführen: Beispielsweise kann man $f:A\to B$ als Abkürzung für $(\mathsf{dom}(f)=A)\land(\mathsf{cod}(f)=B)$ definieren und $\exists f : A\to B.\,\phi$ als Kurzschreibweise für $\exists f:\mathsf{Mor}.\,(f:A\to B)\land\phi$ festlegen.

Frage: Es seien $C, D$ zwei äquivalente Kategorien. Für welche Sätze $\phi$ gilt $C\models\phi$ genau dann, wenn $D\models\phi$?

Ein Beispiel: $C$ sei eine diskrete Kategorie mit genau einem Objekt und $D$ die die aus $C$ entsteht, indem man 2 Kopien des einen Objekts als Objekte nimmt, und noch Isomorphismen zwischen den beiden Objekten hinzufügt. $C$ und $D$ sind dann äquivalent, aber nicht isomorph. Man könnte das innerhalb der Theorie detektieren, wenn man $=$ auf Elemente von verschiedenen Hom-Sets anwenden kann. Soetwas wie $\exists W,X,Y,Z:\mathsf{Ob}.\,∃f:X\to Y.\, ∃g:Z\to W.\,f≠g$ wäre in dem einen Modell falsch, und in dem anderen nicht. Ergo müsste mindestens soetwas verboten werden für äquivalenzinvariante Aussagen (neben der Vergleichbarkeit von Objekten). Reicht das schon?
\(\endgroup\)


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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-30

\(\begingroup\)
Eigentlich sollte man vllt. nicht nur Sätze $\phi$ betrachten, sondern Formeln $\phi(x_1, \dots, x_n)$ mit freien Variablen betrachten. Von äquivalenzinvarianten Formeln fordert man nun: Für alle Äquivalenzen $F:C\to D$ und je $n$ (Objekte oder Morphismen) $a_1, \dots, a_n$ in $C$ gilt:
$C\models\phi(a_1, \dots, a_n)\iff D\models\phi(F(a_1), \dots, F(a_n))$.
\(\endgroup\)


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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-31


Hast du dir schon Bemerkung 3.6.18 in Martins Buch und math.SE/1201451 angeschaut?



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-31


Danke. Könntest du bitte die von dir gemeinte Bemerkung zitieren? Meiner Meinung nach gehört es sich auch wenigstens, das Buch anzugeben, sonst kann man damit im Allgemeinen nichts anfangen.



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1396
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-12-31


Vermutlich ist das Buch Einführung in die Kategorientheorie
Mit ausführlichen Erklärungen und zahlreichen Beispielen


von Martin Brandenburg gemeint.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-31


Ah danke!



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-31


Vielen Dank, ManfredHohler! smile



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IngoBlechschmidt
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.11.2016
Mitteilungen: 13
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-01-03


Es gibt zwei Möglichkeiten, über die Verkettungsoperation in einer Kategorie zu denken:

1. Als partiell definierte Operation, also als Relation.

2. Als totale Operation, wobei die Typen der beteiligten Morphismen zusammenpassen müssen.

Aus meiner Perspektive ist die zweite Sicht näher an unserer Intuition; jedenfalls scheint sie mir auf jeden Fall näher an einer logischen Behandlung (die von Manfred zitierte math.SE-Diskussion zeigt einige Schwierigkeiten bei der ersten Variante auf).

Logik erster Stufe mit einem fixen Sortenkorsett genügt nicht ganz, um die zweite Sicht zu formalisieren, aber fast. Was man benötigt, ist eine Erweiterung um "abhängige Typen". Man sagt dann: "<math>\mathrm{Hom}(X,Y)</math> ist ein abhängiger Typ im Kontext <math>X, Y : \mathrm{Ob}</math>." Auf jedem dieser Typen gönnt man sich noch eine Gleichheitsrelation, nicht aber auf <math>\mathrm{Ob}</math>.

In dieser Formulierung gilt das gewünschte Theorem in einer wunderbar einfachen Formulierung: Sind zwei Kategorien zueinander äquivalent, so gilt eine in der so skizzierten Sprache formulierte Formel genau dann in einer der Kategorien, wenn sie in der anderen gilt. Der Beweis ist eine Induktion über den Formelaufbau.

Zwei Bemerkungen:

a) Es genügt, dass es zwischen den beiden Kategorien einen volltreuen wesentlich surjektiven Funktor gibt. In schwachen Kontexten (ohne Auswahlaxiom) ist das schwächer als die Eigenschaft, Teil einer Kategorienäquivalenz zu sein.

b) Es gibt auch Kategorien, die zueinander elementar äquivalent sind (also dieselben Formeln erfüllen), aber nicht zueinander äquivalent sind, etwa die Kategorien zu den zugrundeliegenden multiplikativen Monoiden von <math>\overline{\mathbb{Q}}</math> und <math>\mathbb{C}</math>. (Dieses Beispiel ist nur ein Schatten der tieferen Beobachtung, dass <math>\overline{\mathbb{Q}}</math> und <math>\mathbb{C}</math> als Ringe zueinander elementar äquivalent sind.)



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