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| Autor |
  Eulersche Identität und komplexwertige Funktion |
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JJJanezic
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 02.03.2015
Mitteilungen: 191
 |  Themenstart: 2018-01-05
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Hallo,
Wir sollen den Real- und den Imaginärteil der folgenden komplexwertigen Funktion bestimmen:
\
exp(-\ii\ exp(\ii\ z))
Jetzt kenne ich natürlich die Eulersche Identität und die Möglichkeit den im Exponenten stehenden Ausdruck umzuformen, wobei (z=x+i y):
\
exp(\ii\ z)=exp(x) (cos(y)+\ii\ sin(y))
Das Problem ist aber, wenn ich das ein zweites Mal mache, um die untere Eulersche Identität aufzulösen bekomme ich immer verschachtelte trigonometrische Funktionen.
Wie kann man das auflösen?
Danke,
JJJ
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Kornkreis
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-05
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Hi,
\quoteon(2018-01-05 18:15 - JJJanezic im Themenstart)
Jetzt kenne ich natürlich die Eulersche Identität und die Möglichkeit den im Exponenten stehenden Ausdruck umzuformen, wobei (z=x+i y):
\
exp(\ii\ z)=exp(x) (cos(y)+\ii\ sin(y))
\quoteoff
Diese Identität gilt für $\exp(z)=\exp(x+iy)$, nicht für $\exp(iz)$.
Wenn du das korrigiert hast, rechne dann einfach mal weiter damit.
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JJJanezic
Wenig Aktiv
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Mitteilungen: 191
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-05
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Hallo Kronkreis,
Danke für diesen Hinweis! Allerdings hilft mir das noch nicht wirklich weiter, weil...
exp(\ii\ z)=exp(\ii\ (x+\ii\ y))=exp(\ii\ x-y)=(exp(\ii\ x))/(exp(y))=(cos(x)+\ii\ sin(x))/(exp(y))=(cos(x)/exp(y))+\ii\ (sin(x)/exp(y))
...wenn ich das jetzt in die untere Exponentialfunktion einsetze, erhalte ich:
\
exp(-\ii\ ((cos(x)/exp(y))+\ii\ (sin(x)/exp(y))))=exp(-\ii\ cos(x)/exp(y)+sin(x)/exp(y))
...und wenn ich versuche den komplexen Teilausdruck wieder zu zerlegen, kommt jetzt (wieder) die verschachtelte trig-Funktion, mit der ich nix anzufangen weiß:
\
exp(-\ii\ cos(x)/exp(y)=cos(cos(x)/exp(y))-\ii\ sin(cos(x)/exp(y)
Brauche bitte noch einmal Deine/Eure Hilfe.
Danke,
JJJ
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Kornkreis
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| Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-05
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Hi,
du hast als Ergebnis $\exp(-i\exp(iz))=a+ib$ mit reellen $a,b$ erhalten (überlege dir kurz, dass $a$ und $b$ tatsächlich reell sind), und damit ist $a$ der gesuchte Realteil und $b$ der Imagniärteil.
Dass $a$ und $b$ hübsche Terme sein müssen, hat ja niemand gesagt ;-) Man kann die verschachtelten Funktionen auch nicht wirklich vereinfachen.
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JJJanezic
Wenig Aktiv
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Mitteilungen: 191
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-05
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Hallo,
Danke, aber meine Zweifel an der Richtigkeit rühren daher, dass in der Angabe noch folgender Satz dabeisteht:
"Vereinfachen Sie die Ergebnisse der Zwischenschritte mittels trigonometrischer Additionstheoreme."
Und irgendwie kann man da nichts mehr vereinfachen...
JJJ
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Kornkreis
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-05
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Wenn die Aufgabenstellung richtig war und sich der Hinweis auch auf diese bezieht, dann ist er mE überflüssig. Ich sehe keinen sinnvollen Weg, diese Aufgabe zu lösen, bei dem man Additionstheoreme zur Vereinfachung einsetzen müsste. Ich bin auch überzeugt, dass sich dein Endergebnis nicht weiter vereinfachen lässt.
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JJJanezic hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
JJJanezic hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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