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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Konvergenz von Fourierreihen
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Universität/Hochschule J Konvergenz von Fourierreihen
Newmath2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-11


Hallo Matheplanetarier,

in meinem Skript sind zwei Aussagen, die auf mich widersprüchlich wirken:

(Wobei nachfolgend die Definitionen <math>\hat{f}(n):=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-inx}dx</math> bzw. mit Integrationsgrenzen <math>-\pi, \pi</math> für Funktionen mit Periode <math>2 \pi</math> und
<math>S_Nf(x):=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\sum_{n=-N}^N \hat{f}(n) e^{inx}</math> gemeint sind.)


(1) "Für <math>f \in L^2(\mathbb T)</math> konvergiert die Reihe <math>\sum_{n \in \mathbb Z}\hat{f}(n)e^{int}</math> bzgl. der L^2-Norm unbedingt gegen die Funktion f(t)."
 
(2) "<math>lim_{N \rightarrow \infty}S_N f(x_0) = f(x_0)</math> (wenn f stetig in <math>x_0</math>und von beschränkter Variation)

(3) "Es ist bekannt, dass die Reihen <math>S_Nf(x)</math> für <math>f \in L^p, 1<p<\infty</math> sogar pw.-f.ü gegen f konvergieren."

Mich macht dabei stutzig, dass in (2) und (3) einmal öfter der Vorfaktor <math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}</math> enthalten ist als in (1). Sind trotzdem alle drei Aussagen richtig?
Zudem ist im englischsprachigen Wikipedia-Artikel zu Carleson's theorem (auf das in Aussage (3) angespielt wird) der Vorfaktor nicht enthalten (also <math>S_N</math> ohne den Vorfaktor definiert) confused .



Und eine kleine Frage am Rande:
Was genau bedeutet es, dass eine Fkt f von beschränkter Varation ist? (Ich weiß dazu nur, dass Funktionen, die sich als Zusammensetzung monotoner Funktionen darstellen lassen, automatisch von beschränkter Variation sind.)



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Newmath2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13


Kennt sich niemand damit aus?
Ich dachte, dass das eher grundlegende Fragen sind...?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Hallo Newmath2012,
in (1) fehlt der Vorfaktor \(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\), wenn überall die gleiche Definitionen verwendet werden. Man kann das \(C\) in \(\hat{f}(n)=C \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}dx\) auch anders wählen, dann muss \(S_Nf(x)=\frac{1}{2 \pi C}\sum_{n=-N}^N \hat{f}(n) e^{inx}\) definiert werden. Zur letzten Frage siehe die Wikipedia-Definition Beschränkte Variation.

Viele Grüße,
  Stefan
\(\endgroup\)


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Newmath2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13


Hallo Stefan Vogel,
danke für deine Antwort und die ergänzende Erklärung zur Wahl von C.

Im englischsprachigen Wikipedia-Artikel über Carleson's theorem fehlt dann auch der Vorfaktor in der dortigen Formel, sofern die Fourierkoeffizienten so definiert sind wie in meinem ersten Post, ja?

Danke für den Link zur beschränkten Variation. Die hat in unterschiedlichen Zusammenhängen ja unterschiedliche Bedeutung, deshalb war ich mir nicht sicher, was gemeint ist, aber das passt dann.  smile



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Im Carleson's theorem werden die Fourier coefficients bei Periodenlänge \(P=2 \pi\) mit dem Vorfaktor \(\dfrac{1}{2 \pi}\) definiert:

\(\displaystyle c_n = \frac{1}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} s(x)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx\).
\(\endgroup\)


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Newmath2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-15


Hallo Stefan Vogel, dann passt das aber wieder nicht:

In meinem ersten Post ist der Vorfaktor sowohl in der Definition der Fourierkoeffizienten als auch in der Definition von den Fourierreihen jeweils enthalten, das bedeutet, in der Definition der Fourierreihen ist er zweimal drin (einmal extra dazu und einmal in der Definitoin der Fourierkoeffizienten).
In (2) und (3) aus meinem ersten Post ist er daher jeweils zweimal enthalten.
In (1) aus meinem ersten Post und in dem Carleson's theorem - Link unter "Statement of the theorem" ist er dagegen nur einmal enthalen, nämlich in der Definition der Fourierkoeffizienten, nicht aber zusätzlich in der Definition der Reihe.  confused
Wie passt das zusammen?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
(2) und (3) passt, in (1) fehlt nach meiner Auffassung der Vorfaktor,

2018-01-15 17:41 - Newmath2012 in Beitrag No. 5 schreibt:
... in dem Carleson's theorem - Link unter "Statement of the theorem" ist er dagegen nur einmal enthalen, nämlich in der Definition der Fourierkoeffizienten...

ja, aber in der Definition der Fourierkoeffizienten ist er ohne die Wurzel enthalten, also zweimal mit Wurzel: \( \dfrac{1}{2 \pi }= \dfrac{1}{\sqrt {2 \pi }} \dfrac{1}{\sqrt {2 \pi }} \). Die Fourierkoeffizienten sińd dort nicht so definiert wie in deinem ersten Beitrag.
\(\endgroup\)


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Newmath2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-20


Achso, dann macht das jetzt Sinn! :)
Danke für deine Hilfe!



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