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Analysis » Komplexe Zahlen » Einheitswurzeln
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Universität/Hochschule J Einheitswurzeln
shnizzle
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.11.2015
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-14

\(\begingroup\)
Hey liebe Community,

ich hänge gerade an einem Problem. Und zwar will ich folgendes für n gerade zeigen:

\[ \prod_{k=1}^{n} \cos^2 (\frac{k\pi}{n+1}) = \frac{1}{4^n}. \]
Mein Ansatz ist die eulersche Formel. Mit ihr erhalte ich

\[ \prod_{k=1}^{n} \cos^2 (\frac{k\pi}{n+1}) = \frac{1}{4^n} \prod_{k=1}^{n} (\exp(\frac{k \pi i}{n+1}) + \exp(-\frac{k \pi i}{n+1}))^2 = \frac{1}{4^n} \prod_{k=1}^{n} (\exp(-\frac{k \pi i}{n+1})(\exp(\frac{2 k \pi i}{n+1})+1))^2.  \]
Schon gezeigt habe ich
\[ \prod_{k=1}^{n} \exp(-\frac{2 k \pi i}{n+1})=1. \]
Woran es gerade hakt ist

\[ \prod_{k=1}^{n} (\exp(\frac{2 k \pi i}{n+1})+1)^2 = 1. \]
Kann mir hier jemand helfen?

Viele Grüße und Danke schon mal im voraus
shnizzle
\(\endgroup\)


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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-15


Hallo

2018-01-14 22:28 - shnizzle im Themenstart schreibt:
Woran es gerade hakt ist

<math>\displaystyle  \prod_{k=1}^{n} (\exp(\frac{2 k \pi i}{n+1})+1)^2 = 1. </math>

Dein Ansatz sieht sehr vielversprechend aus, finde ich. Vielleicht lässt sich der Rest mit dem Satz von Vieta lösen. Sicher bin ich mir aber nicht.
Zuerst einmal können wir das Produkt mit  dem Index <math>k=0</math> starten lassen. Das ändert nichts. Sei weiter <math>U</math> die Nullstellenmenge des Polynoms <math>p (X)=X^{n+1}-1</math>, so können wir das Produkt umschreiben zu
<math>\displaystyle  \prod_{k=1}^{n} (\exp(\frac{2 k \pi i}{n+1})+1)^2 = \prod_{k=0}^{n} (\exp(\frac{2 k \pi i}{n+1})+1)^2 = \prod_{\xi\in U}(\xi+1)^2 . </math>
Das Produkt aller Elemente aus <math>U</math> ist Eins. Alle anderen symmetrischen Summen der Elemente aus U sind nach dem Satz von Vieta aber Null. Der Ausdruck oben ist sicherlich symmetrisch in den Elementen aus U, da wir in dem Produkt zwei Elemente vertauschen können ohne dass sich etwas ändert. Damit sollte der Ausdruck eine Summe von Nullen und Einsen sein, also in jedem Fall ganzzahlig. Wie genau, das bleibt zu untersuchen.

Hoffentlich war das richtig und verständlich.



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shnizzle
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Mitteilungen: 6
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-15

\(\begingroup\)
Hallo Ochsen, danke erst mal für deine Antwort.
Ich verstehe aber nicht warum man das Produkt auch von der 0 starten kann. Dann erhalte ich ja in der Klammer 1+1 und damit kommt der Faktor 4 noch hinzu.

Ich habe es aber mittlerweile soweit, dass man "nur" das hier zeigen muss:

\[ \prod_{k=1}^{n} \left( \exp \left( \frac{2k \pi}{n+1} \right) +1 \right) = 1. \]
Hier habe ich mir das für n=2 und n=4 klar gemacht. Aber ein allgemeiner Ansatz fehlt mir leider.
\(\endgroup\)


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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 1893
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-16


Hi, sorry, mit k=0 habe ich mich geirrt.

Kannst du das Polynom
<math>\displaystyle P(X)=\prod_{k=1}^{n}\left(X-\exp\left(\frac{2\pi k}{n+1}\right)\right)</math>  
explizit berechnen? Kennst du ein Polynom mit den gleichen Nullstellen und vom gleichen Grad?
Dich interessiert <math>(-1)^nP (-1)</math>.

Wie bist du eigentlich bis hierhin gekommen? Magst du uns die Rechnung zeigen? Für ungerade Zahlen <math>n</math> scheint dein Ergebnis nicht zu stimmen. Meinst du in Themenstart, dass <math>n </math> eine gerade Zahl ist? Oder dass du irgendetwas gerade zeigen sollst?



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shnizzle
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-16

\(\begingroup\)
Dass ich das Quadrat weglassen kann war mehr eine Vermutung, die sich dank deines Tipps jetzt bestätigt hat. Und zwar bin ich jetzt so vorgegangen:
Sei \(P_n(x) = \prod_{k=1}^{n} \left( x - \exp \left( \frac{2k \pi i}{n+1} \right) \right).\) Da in dem Produkt alle (n+1)-ten Einheitswurzeln stehen bis auf die 0., die 1 selbst gilt
\[P_n(x) = \frac{x^{n+1}-1}{x-1} = x^n +  x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1.\] Damit ist also
\[ (-1)^n P_n(-1) = (-1)^n \prod_{k=1}^{n} \left( -1 - \exp \left( \frac{2k \pi i}{n+1} \right) \right) = \prod_{k=1}^{n} \left( 1 + \exp \left( \frac{2k \pi i}{n+1} \right) \right) \]
Da ich \(n\) als gerade vorausgesetzt habe gilt
\[ (-1)^n P_n(-1) = P_n(-1) = \underbrace{(-1)^n +  (-1)^{n-1} + (-1)^{n-2} + \dots + (-1)}_{=0} + 1 = 1. \]
Damit ist die Behauptung gezeigt.

Vielen Dank ochen für deinen Tipp!
Was meinst du wie ich bis hier her gekommen bin? Ja im Themenstart habe ich angenommen, dass \(n\) gerade ist. Für ein ungerades \(n\) gilt sie tatsächlich nicht.
\(\endgroup\)


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