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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Steigung in Richtung des Vektors
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Universität/Hochschule Steigung in Richtung des Vektors
Shortyoo
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-16


Hallo erst mal!

Also gegeben ist die Funktion fed-Code einblenden
Die Aufgabe ist, die Steigung von f in Richtung des Vektors h fed-Code einblenden allgemein und speziell im Punkt (3,2) anzugeben.

Als erstes brauche ich die partiellen Ableitungen, die Steigung in x-Richtung wäre also: fed-Code einblenden
in y-Richtung wäre sie: fed-Code einblenden


Die Richtung im Punkt (3,2) ist:
fed-Code einblenden
Dann muss ich das Skalarprodukt bilden, aber diese fed-Code einblenden verwirren mich!

Also die Frage: Was wäre der nächste Schritt?



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reik
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-16

\(\begingroup\)
Du bist an der Steigung von \(f\) in Richtung \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right)\) interessiert, also an der Länge der Projektion von \(\vec{\nabla} f\) auf \(\vec{v}\). Sei \(\phi\) der Winkel zwischen den beiden Vektoren \(\measuredangle\left(\vec{\nabla} f,\vec{v}\right)\), dann ist \( f_v=\lvert\vec{\nabla} f\rvert\cos\phi\) die gesuchte Größe. Normiert man \(\vec{v}\) indem man  \(\vec{h}=\frac{\vec{v}}{\lvert\vec{v}\rvert}\) setzt, dann kann man \(f_h=\lvert \vec{\nabla} f\rvert\lvert\vec{h}\rvert \cos\phi=\vec{\nabla} f\cdot\vec{h}\) schreiben. Der Faktor \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) ist also einfach der Kehrwert der Länge \(\lvert \vec{v}\rvert\) um \(\lvert\vec{h}\rvert=\left\lvert\frac{\vec{v}}{\lvert\vec{v}\rvert}\right\rvert=1\) zu erhalten und damit die Projektion von \(\vec{\nabla} f\) durch das Skalarprodukt \(\vec{\nabla} f\cdot\vec{h}\) berechnen zu können. Rechne also \(\vec{\nabla} f\cdot\vec{v}\) und dividiere den resultierenden Skalar durch \(\lvert\vec{v}\rvert=\sqrt{5}\).
\(\endgroup\)


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Shortyoo
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-16

\(\begingroup\)
\[\]Vielen dank für die Antwort :)

Wenn ich das richtig verstanden habe, wäre das also:
fed-Code einblenden

So weit richtig?

Edit:
Hatten das Thema Vektoren noch nicht in der Uni und in der Schule war es nur flüchtig - daher bitte ich ein wenig um Verständnis ^^
\(\endgroup\)


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reik
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-16

\(\begingroup\)
2018-01-16 20:14 - Shortyoo in Beitrag No. 2 schreibt:

So weit richtig?

Ja, wenn du es ordentlich aufschreibst.

\(f_h\left(3,2\right)=\vec{\nabla} f\left(3,2\right)\cdot \frac{\vec{v}}{\lvert\vec{v}\rvert}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c} 6 \\ 20 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right)= \frac{1}{\sqrt{5}}(-12+20)=\frac{8}{\sqrt{5}}\).

2018-01-16 20:14 - Shortyoo in Beitrag No. 2 schreibt:

Edit:
Hatten das Thema Vektoren noch nicht in der Uni und in der Schule war es nur flüchtig - daher bitte ich ein wenig um Verständnis ^^

Dann wundert es mich aber, dass du Richtungsableitungen suchst :)
\(\endgroup\)


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Shortyoo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-16


Vielen Dank erst mal - das scheine ich verstanden zu haben!

Wie sieht es jetzt mit der anderen Aufgabe aus, die Steigung von f in Richtung des Vektors h = fed-Code einblenden allgemein anzugeben? Arbeite ich da einfach nur mit den Variablen?

Also meine Idee wäre:
fed-Code einblenden
Stimmt das soweit, oder liege ich eher daneben?

Ach ja, wir schreiben übrigens grad f(x,y), anstelle dieses Nabla!


Dann wundert es mich aber, dass du Richtungsableitungen suchst :)

Vektoren kommen erst im 2. Semester, die Dozentin hat sich auch darüber beschwert, dass es jetzt so gemacht werden soll :)



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