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Mathematik » Stochastik und Statistik » Transformation eines F-Integrals
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Universität/Hochschule J Transformation eines F-Integrals
Franz90
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 23.11.2017
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-21

\(\begingroup\)
Hallo liebes Forum!
Ich würde gerne ein Integral transformieren, bin mir aber nicht sicher, ob das ohne weiteres geht. Brauche ich für folgende Aussage noch Voraussetzungen an $F$ ?

Ist $F$ eine Verteilungsfunktion, $F^{-1}(u):=\inf\{x\in\mathbb{R}:F(x)\ge u\}$ und $S:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ integrierbar bezüglich $F$, so gilt $$\int_{-\infty}^{\infty}S(x)F(dx)=\int_{0}^{1}S(F^{-1}(u))du$$

 
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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
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Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-21

\(\begingroup\)
Huhu Franz90,

bezeichnest Du mit $\mathbb{P}$ die zu $F$ gehörige Verteilung, so ist dieses $\mathbb{P}$ auch die Verteilung der Zufallsvariablen $F^{-1}:(0,1)\to\mathbb{R}$, wobei $((0,1), \mathcal{B}(0,1), \lambda)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ ein messbarer Raum sind, und $F^{-1}$ die von Dir angegebene verallgemeinerte Inverse darstellt. Dazu ist nur die Voraussetzung erforderlich, dass $F$ eine Verteilungsfunktion ist.

lg, AK.
\(\endgroup\)


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Franz90
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 23.11.2017
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-21

\(\begingroup\)
Wie kann man denn zeigen, dass die zu $F$ gehörende Verteilung $\mathbb{P}$ auch die Verteilung der Zufallsvariablen/Borelfunktion $F^{-1}$ ist? Es wäre ja zu $x\in\mathbb{R}$:
  $$\lambda(F^{-1}\le x)=\lambda(\{u\in(0,1):F^{-1}(u)\le x\})=\lambda(\{u\in(0,1):u\le F(x)\})?$$ Und wie kommt das Infimum nun zu tragen? Bin gerade etwas durcheinander  confused
\(\endgroup\)


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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-21

\(\begingroup\)
Huhu,

die wesentliche Idee hast Du schon korrekt beschrieben.

Es ist allerdings nicht notwendig gewährleistet, dass $F$ stetig ist und somit gilt die letzte Gleichheit im Allgemeinen nicht. Für den allgemeinen Fall benötigst Du die Konstruktion der verallgemeinerten Inversen mit Hilfe des Infimums.

Überlege Dir, was passiert, wenn $\mathbb{P}(\{x\})=a>0$ gilt.

lg, AK.
\(\endgroup\)


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Franz90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-21

\(\begingroup\)
Aber die letzte von mir angegebene Gleichheit gilt doch aufgrund der Monotonieeigenschaft $\forall x\in\mathbb{R},u\in(0,1): F^{-1}(u)\le x\Leftrightarrow u\le F(x)$ ? Diese haben wir zumindest im Skript stehen.
\(\endgroup\)


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