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 Grenzwert der geometrischen Reihe im Komplexen |
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LeoKon
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 30.11.2017
Mitteilungen: 53
 |  Themenstart: 2018-01-22
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Hallo,
ich muss zeigen, dass sich die Funktion h:C ohne {1,i} -> C mit z -> 1/((z-1)*(z-i)^2) als Grenzwert einer absolut konvergenten Potenzreihe um den Entwicklungspunkt 0 darstellen lässt. Dies ist bereits Teilaufgabe c, bei den vorigen hab ich einmal PBZ gemacht und dann die Brüche als Grenzwert geometrischer Reihen dargesllt, das funktionierte durch Rausziehen der Faktoren gut, beispielsweise für 1/((z-1)*(z-2)) dargestellt. Nun hab ich hier leider erstens i im Nenner, wo ich mit der PBZ auf nichts grünes komme. Als Hinweis steht in unserem Skript, dass das Cauchyprodukt verwendbar ist. Also Ziel wäre es demnach, zwei geometrische Reihen zu finden, die miteinander zum Cauchyprodukt verknüpft werden und dann als Grenzwert das Zeug von oben liefern. Leider weiß ich nicht ganz, wie ich hier vorgehen soll.
LG
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ReimerBruechmann
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 28.06.2017
Mitteilungen: 57
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-23
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Hallo LeoKon,
sofern Du denn mit dem Cauchy-Produkt arbeiten möchtest, wäre es am einfachsten, die Reihen mit den einzelnen Faktoren zu bilden und dann auszumultiplizieren. Wir haben zuerst
$$\frac{1}{z-1}=-\frac{1}{1-z}=-1-z-z^2-z^3-...=-\sum_{j=0}^\infty z^j$$
und
$$\frac{1}{z-i}=\frac{i}{1+iz}=i\{1-(iz)+(iz)^2-(iz)^3\pm...\}=i\sum_{k=0}^\infty (-iz)^k.$$
Wir differenzieren die zweite Reihe nach z und erhalten
$$-\frac{1}{(z-i)^2}=i\sum_{k=0}^\infty (-ki)\cdot(-iz)^{k-1}=\sum_{k=1}^\infty k(-iz)^{k-1}.$$
Beide Reihen können jetzt multipliziert werden. Der Konvergenzradius jeder Reihe ist 1 und damit hat auch das Produkt den Konvergenzradius 1.
Für eine Partialbruchzerlegung setzen wir
$$\frac{1}{(z-1)\cdot(z-i)^2}=\frac{A}{z-1}+\frac{B_2}{(z-i)^2}+\frac{B_1}{z-i}.$$
Zur Bestimmung der Zahl A multipliziere man mit $z-1$ und lasse $z\to 1$ streben. Entsprechend kann man $(z-i)^2$ multiplizieren und $z\to i$ streben lassen, um die Zahl $B_2$ zu bestimmen. Zur Bestimmung der Zahl $B_1$ berechne man mit der bekannten Zahl $B_2$
$$\frac{1}{(z-1)\cdot(z-i)^2}-\frac{B_2}{(z-i)^2}=\frac{A}{z-1}+\frac{B_1}{z-i}$$
und bestimme abschließend $B_1$ nach Zusammenfassung der Summanden auf der linken Seite. Die Partialbruchzerlegung führt offensichtlich zu einen übersichtlicheren Ausdruck.
Gruß Reimer
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LeoKon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.11.2017
Mitteilungen: 53
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-23
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Hallo,
Danke für die Antwort.
Mir war nicht klar, dass auch (iz)^k auf die geometrische Reihe angewandt werden kann. Leider haben wir Differenzieren noch nicht "behandelt", dürfen es also zur Lösung der Aufgaben nicht anwenden. Gibt es noch einen anderen Weg?
Und vielleicht könnte man mir nochmals erklären, warum die geometrische Reihe auch für i*z < 1 konvergent ist, wo doch z schon eine komplexe Zahl ist?
LG
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lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11480
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-23
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Hallo
wenn du nicht differenzieren darfst musst du für das Podukt eben die Summen multiplizieren.
Eine komplexe Reihe konvergiert, wenn der Betrag der Summanden konvergiert oder wenn rRealteil und Imaginärteil einzeln konvergieren.
bis dann, lula
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| LeoKon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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