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| Autor |
 Elektromagnetischer Feldstärketensor |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2018-01-27
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Hallo,
wir behandeln zur Zeit relativistische Elektrodynamik in der Vorlesung und sollen als Übung aus dem elektromagnetischen Feldstärketensor
$$F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu = \begin{pmatrix} 0 & -E_1 & -E_2 & -E_3 \\
E_1 & 0 -B_3 & B_2 \\
E_2 & B_3 & 0 & -B_1 \\
E_3 & -B_2 & B_1 & 0 \end{pmatrix}$$ zunächst den dualen Feldstärketensor $\tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma}$ berechnen. Mit meiner Rechnung habe ich
$$\tilde{F}^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -B_1 & -B_2 & -B_3 \\
B_1 & 0 & E_3 & -E_2 \\
B_2 & -E_3 & 0 & E_1 \\
B_3 & E_2 & -E_1 & 0 \end{pmatrix}$$ erhalten, was auch mit Ergebnissen aus Wikipedia übereinstimmt.
Nun soll ich mit der Definition von $\tilde{F}^{\mu\nu}$ zeigen, dass $\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0$ gilt. Wenn ich einfach mein Ergebnis für $\tilde{F}^{\mu\nu}$ verwende und zusätzlich $\partial_\mu = (\frac{1}{c} \partial_t, \nabla)$ benutze, komme ich unter Verwendung der Maxwell-Gleichungen darauf, dass in der Tat $\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0$ gilt.
Wie mache ich das aber lediglich mit der Definition $\tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma}$? Ich habe einfach mal $\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \partial_\mu \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma}$ hingeschrieben und ein wenig mit den Indizes gespielt, um auf etwas wie $x = -x$ zu kommen, um daraus zu folgern, dass $x=0$ ist. Damit kam aber leider zu keinem Ergebnis und eine andere Idee, wie ich das zeigen könnte fällt mir leider auch nicht ein.
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Tirpitz
Senior 
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 787
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-27
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Hallo!
Mit Index-Spielereien alleine wirst du das nicht zeigen können, da das keine mathematische, sondern eine physikalische Aussage ist. Du sollst im Prinzip nur zeigen, dass die als Faraday-Tensor verwursteten Feldstärken immer noch die homogenen Maxwellgleichungen erfüllen und man sie so zu einer Gleichung, \(\mathrm dF=0\) (in Formensprache) zusammenfassen kann. Wenn du die nur für E/B-Felder gegeben hast, dann kannst du eh nur systematisch die Komponenten einzeln durchgehen, wie du es schon gemacht hast.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-28
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Das verwirrt mich jetzt etwas. In der zweiten Teilaufgabe heißt es nämlich
\quoteon Zeigen sie anhand der Definition von $\tilde{F}^{\mu\nu}$, dass $\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0$.
\quoteoff
und in der dritten Teilaufgabe heißt es
\quoteon Zeigen Sie, dass die Gleichung $\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0$ zwei der vier Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik liefert.
\quoteoff
So wie ich dich im letzten Satz verstanden habe, geht es nur durch explizites Ausrechnen der einzelnen Komponenten, wie ich es schon bisher für die dritte Teilaufgabe gemacht habe. Die zweite Teilaufgabe klingt für mich, unter Betrachtung der dritten, dass man da einfach nur mit der Definition rumspielen soll und dann im dritten Teil die physikalische Interpretation verwenden soll.
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Tirpitz
Senior
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 787
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-28
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Ich weiß leider nicht, was der Aufgabensteller damit bezwecken möchte. Wenn es rein mathematisch ginge, wäre die axiomatische Natur der Maxwellgleichungen unnötig, was, vorsichtig ausgedrückt, ja ziemlich phänomenal wäre. Für mich unterscheiden sich diese beiden Aufgaben inhaltlich nicht voneinander: um die Zweite zu zeigen, musst du die dritte Aufgabe vorwegnehmen. Oder umgekehrt.
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