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Analysis » Maßtheorie » Lemma von Fatou für Mengen
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Universität/Hochschule Lemma von Fatou für Mengen
MrRob
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 29.06.2017
Mitteilungen: 11
  Themenstart: 2018-02-03

Hallo:) \(D\) ist der Raum der beschränkten und rechtsstetigen Funktionen auf \([0,1]\). Für \(x\in D\) sei \(w_x(\delta) :=\sup_{0\leq t\leq 1-\delta}\sup_{a,b\in[t,t+\delta]}|x(b)-x(a)|\) Wenn für \(\delta \rightarrow 0\) auch \(w_x(\delta) \rightarrow 0\), so ist x offensichtlich stetig. Sei \(P\) ein Wahrscheinlichkeitsmaß Ich weiß nun schon ,dass für alle \(k\) ein \(\delta_k\) existiert so, dass wenn \(A_k := \{x:w_x(\delta_k)\geq \frac{1}{k}\}\), folgt \(P(A_k)<\frac{1}{k}\) Jetzt muss ich zeigen, dass für \(A:=\lim\inf_k A_k\) gilt:\[P(A)=0\] Ich hatte daran gedacht, das mit dem Lemma von Fatou zu machen. Aber die \(A_k\) sind ja hier Mengen und keine messbaren Funktionen. Ein anderer Ansatz wäre, das über die Gegenwahrscheinlichkeit \(P(A)=1-P(A^c)\) zu machen. Aber ich weiß nicht wirklich was über \(P(A^c)\). Vielen Dank schon mal! Liebe Grüße Robin

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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.04.2016
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Wohnort: Berlin
  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-04

Hast du das Lemma schon einmal auf die charakteristischen Funktionen der Mengen angewandt?

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Ex_Senior
  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-08

Der Hinweis von Triceratops ist natürlich richtig, aber man kann das Lemma von Fatou für Mengen auch direkt beweisen (und auf die eine oder andere Weise benutzt man das am Ende auch im Beweis vom Lemma von Fatou für Funktionen). Man braucht eigentlich nur zu wissen, dass Maße monoton sind ($A\subset B$ impliziert $P(A)\leq P(B)$) und "stetig" (falls (A_n) eine aufsteigende Folge ist, dann gilt $P(A_n)\nearrow P(\bigcup_k A_k)$ für $n\to\infty$). Beides folgt recht leicht aus der $\sigma$-Additivität.

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