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 Cosinus einer komplexen Zahl |
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twinlab
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 20.01.2018
Mitteilungen: 26
 |  Themenstart: 2018-02-03
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Hallo zusammen,
ich steh grad total auf dem Schlauch...
Bei einer Aufgabe muss ich den cos einer komplexen Zahl berechnen,
und zwar:
\
cos(e^(-i * Pi/2))
Kann mir jemand helfen, wie ich hier vorgehen muss?
Ist das Ergebnis eine relle Zahl? Das meint jedenfalls WolframAlpha,
aber das kann ja nicht richtig sein, oder...?
Ps: Später müsste ich auch noch
\
sin ( e^(i * 2Pi/3))
berechnen, aber wenn ihr mir bei der sin Aufgabe helfen würdet,
komme ich hoffentlich selber auf dieses Ergebnis.
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dromedar
Senior 
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Wohnort: München
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-03
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\quoteon(2018-02-03 19:35 - twinlab im Themenstart)
Ist das Ergebnis eine relle Zahl? Das meint jedenfalls WolframAlpha,
aber das kann ja nicht richtig sein, oder...?
\quoteoff
Warum denkst Du, dass das nicht richtig sein kann?
Um den Cosinus auszurechnen brauchst Du keinen Trick, sondern kannst, z.B. ausgehend von der Definition
$\displaystyle\cos x={1\over2}\left[e^{ix}+e^{-ix}\right]$ ,
einfach losrechnen. Überleg Dir zuerst einmal, was $e^{-i{\pi\over2}}$ ist.
Grüße,
dromedar
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DerEinfaeltige
Senior 
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 3291
 | Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-03
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Ansatz:
Ersetze cos bzw. sin durch die Exponentialfunktion und teile die Argumente gegebenenfalls in Real- und Imaginärteil auf.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Wirkungsquantum
Wenig Aktiv
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 812
 | Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-03
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Hallo,
was gibt denn erstmal $e^{-i\frac{\pi}{2}}$ ausgerechnet?
Grüße,
h
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twinlab
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-03
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hmmmm... cos = 1/2( e^ix + e^-ix) hatten wir tatsächlich schon!
ich komm damit jetzt auf 1,54308...
Hat einer von euch einen Taschenrechner, der das verifizieren könnte?
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Wirkungsquantum
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-03
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Ich bekomme im Taschenrechner das gleiche raus.
Grüße,
h
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twinlab
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 20.01.2018
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|  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-03
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Oh Mann.. vielen Dank!! Kannst du mir bitte noch verraten, welchen Taschenrechner du hast?
Und vielleicht magst du auch noch die zweite Aufgabe eintippen..
also sin ( e^(i * 2Pi/3))
Da krieg ich jetzt rund -0,67 + 0,85i raus
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Wirkungsquantum
Wenig Aktiv
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Mitteilungen: 812
| Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-03
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Ich hab die Rechnung mit dem GTR gemacht (der kann allerdings auch nicht mit allen komplexen Zahlen arbeiten; cos(i) geht z.B. nicht). Allerdings kann der Google Taschenrechner auch komplexe Zahlen ausrechnen (für mal muss man dann * verwenden und für Potenzen ^; um den Google-Taschenrechner aufzurufen muss man die Rechnung nur in Goolge eingeben.).
Mit dem Taschenrechner komme ich auf dem selben Wert, dein Ergebnis stimmt also.
Die erste Aufgabe lässt sich übrigens auch im Taschenrechner ohne Komplexe Zahlen lösen:
Es ist $cos(-i)=\frac{e^{-i^2}+e^{i^2}}{2}=\frac{e^+\frac{1}{e}}{2}$
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twinlab
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 20.01.2018
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-03
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oja, e^(-i pi/2) ist ja gerade -i ... echter Schlauchsteher heute...
vielen Dank für die Hilfe !
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twinlab
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-03
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und Danke auch für den Tipp mit Google! Das wusste ich noch nicht, dass der sowas kann :-)
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Triceratops
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-04
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twinlab wie lautet denn die Original-Aufgabe?
Jedenfalls ist die Angabe einer irrationalen Zahl durch 5 (oder irgendeiner endlichen Zahl an) Nachkommastellen nicht richtig.
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Ex_Senior
 | Beitrag No.11, eingetragen 2018-02-04
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Ein kleiner allgemeiner Hinweis zu den Beiträgen hier:
Anstatt sich den Kopf zu zerbrechen, wie man das am besten mit dem "Taschenrechner" oder sowas ermittelt, wäre eine sinnvollere und auch gelehrsamere Vorgehensweise etwa
wikipedia → Sinus und Kosinus → Komplexes Argument.
Wie der Zufall so will steht das Gesuchte dort direkt als Beispiel. Gar nicht mal so zufällig, denn diesen Abschnitt "Komplexes_Argument" habe -selbstbeweihräuchernd- ich einmal bei wikipedia verfasst; wurde dann allerdings in der Folgezeit noch 20mal umgepflügt, so dass er kaum noch als meine Handschrift erkennbar ist.
Zur dort angedeuteten Herleitung:
Es ist $\cos(z)=\cos(x+iy)=\cos(x)\cosh(y)−i\sin(x)\sinh(y)$
Bew.: Mit $\cos(α+β)=\cos(α)\cos(β)−\sin(α)\sin(β)$ (Additionstheorem)
und $\sin(ia)=i⋅\sinh(a)$ bzw. $\cos(ia)=\cosh(a)$ (aus den Eulerformeln) folgt die Behauptung.
Ansonsten bitte immer einen Formelditor verwenden.
2018-02-03 20:14 - twinlab in Beitrag No. 8 schreibt:
e^(-i Pi/2)
Das sieht schlecht aus.
Das besser: exp(-i \pi/2)
Zudem den Formeleditor auch richtig verwenden.
Das ist die falsche Syntax
\quoteon(2018-02-03 20:11 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 7 schreibt)
$cos(−i)=\dots$
\quoteoff
Die richtige ist: $\cos, \sin, \tan, \mod, \gcd, \dots$
Siehe LaTeX-Hilfe oder Formelsatz.
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Wirkungsquantum
Wenig Aktiv
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 812
| Beitrag No.12, eingetragen 2018-02-04
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\quoteon(2018-02-04 09:20 - cis in Beitrag No. 11)
Zudem den Formeleditor auch richtig verwenden.
Das ist die falsche Syntax
\quoteon(2018-02-03 20:11 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 7)
$cos(-i)=\dots$
\quoteoff
$\textsf{Die richtige ist: } \cos,~ \sin,~ \tan,~ \bmod,~ \gcd,~ \dots$
Siehe TeX-Hilfe oder Formelsatz.
\quoteoff
Ach so okay, danke für den Hinweis.
Grüße,
h
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46882
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.13, eingetragen 2018-02-04
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\quoteon(2018-02-03 20:04 - twinlab in Beitrag No. 6)
Da krieg ich jetzt rund -0,67 + 0,85i raus
\quoteoff
Hi twinlab,
-0.6707 + 0.8586i stimmt, und mein Ergebnis für den Cosinus ist 1.2278 + 0.4691i.
Gruß Buri
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Ex_Senior
| Beitrag No.14, eingetragen 2018-02-04
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\quoteon(2018-02-04 14:28 - Buri in Beitrag No. 13)
\quoteon(2018-02-03 20:04 - twinlab in Beitrag No. 6)
sin( e^(i * 2\pi/3))
Da krieg ich jetzt rund -0,67 + 0,85i raus
\quoteoff
stimmt
\quoteoff
Ja ich auch... Ist ja keine große Kunst das bei WolframAlpha reinzukopieren.
Aber wie schon in #7 und #10 und #11 bemerkt, gibt man das Ergebnis an als symbolischen Ausdruck mit der e-Funktion oder eben abgekürzt mit den Hyperbelfunktionen.
Das Kommazahlergebnis kann man natürlich auch noch mit '... $\approx$ ...' dazuschreiben.
Aber, dass jemand das in den Taschenrechner eingeben kann wird in der Regel nicht abgefragt, eher stillschweigend unterstellt. :-)
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