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Strukturen und Algebra » Polynome » Minimalpolynom
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Universität/Hochschule J Minimalpolynom
Zoe505
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-13


Ich bräuchte bitte Hilfe bei dieser Aufgabe:

fed-Code einblenden

Dies ist jedoch nicht die Lösung oder?
Ich müsste ja noch zeigen, das dies nun irreduzibel ist, was es jedoch aber nicht ist?
Vielen Dank schon mal :)



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-13

\(\begingroup\)
Hey Zoe505,

in der Tat musst du noch überprüfen, ob dieses Polynom irreduzibel über \(\mathbb{Q}\) ist.
Warum sollte es nicht irreduzibel sein? Welches Kriterium könnte man denn hier wunderbar anwenden?
\(\endgroup\)


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ollie3
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 28
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-13


Hallo,
selbstverständlich ist das Polynom auch irreduzibel, überpruefe das
mit dem Satz von Eisenstein mit p=5.
Gruss ollie3

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-13

\(\begingroup\)
2018-02-13 13:54 - Zoe505 im Themenstart schreibt:
Ich bräuchte bitte Hilfe bei dieser Aufgabe:

fed-Code einblenden

Dies ist jedoch nicht die Lösung oder?
Ich müsste ja noch zeigen, das dies nun irreduzibel ist, was es jedoch aber nicht ist?
Vielen Dank schon mal :)

Ich Formuliere das mal anders:

1. $a=\sqrt{5+2 \sqrt{5}} \in \mathbb R$.

Bestimmen sie das normierte Minimalpolynom $f(x) \in \mathbb Q[x], f(a)=0$

2. $a^2=5+2 \sqrt(5) \Leftrightarrow 2 \sqrt(5)=a^2-5$

3. $a^4=20 \sqrt(5)+45=10*2 \sqrt(5)+45 \Rightarrow a^4=10(a^2-5)+45=a^4-10a^2+5$
Jetzt substituiere $a^2=b$.



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Zoe505
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-13


Oh stimmt natürlich , war ein dummer Denkfehler :D
Aber ist die Aufgabe damit vollständig gelöst, wenn ich noch zeige
das fed-Code einblenden

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-13


Was sagen denn deine Vorlesungsnotizen dazu?



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-02-13


2018-02-13 14:18 - Zoe505 in Beitrag No. 4 schreibt:
Oh stimmt natürlich , war ein dummer Denkfehler :D
Aber ist die Aufgabe damit vollständig gelöst, wenn ich noch zeige
das fed-Code einblenden

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
die Anwendung der p/q formel sagt dir die Antwort. eisenstein ist auch anwendbar mit welcem p?
de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-14


2018-02-13 23:09 - juergen007 in Beitrag No. 6 schreibt:
die Anwendung der p/q formel sagt dir die Antwort.

Hm, was soll das hier genau bringen? Da kommen doch gerade wieder die Wurzeln ins Spiel, welche du doch eben noch in #3 mit viel Mühe entfernt hast, oder nicht?  confused

eisenstein ist auch anwendbar mit welcem p?
de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium

Ist diese Frage ernst gemeint?  eek



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-02-14


doppelt



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-02-14

\(\begingroup\)
2018-02-14 08:00 - weird in Beitrag No. 7 schreibt:
2018-02-13 23:09 - juergen007 in Beitrag No. 6 schreibt:
die Anwendung der p/q formel sagt dir die Antwort.

Hm, was soll das hier genau bringen? Da kommen doch gerade wieder die Wurzeln ins Spiel, welche du doch eben noch in #3 mit viel Mühe entfernt hast, oder nicht?  confused

eisenstein ist auch anwendbar mit welcem p?
de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium

Ist diese Frage ernst gemeint?  eek

$f=x^4-10x^2+5$

Natürlich war es eine "rhetorische Frage"  an einen TE so dass er selber die Anwort gibt. Ich weiss dass es 5 ist, aber er sollte das selbst rausfinden! $5|10$ aber $5^2 \nmid 5$


Natuerlich kommen bei anw. der p/q Formel auf die substitierten form $f=y^2-10y+5$ Wurzeln rein nämlich genau das $y_0=sqrt(a)$ so das wir das Mipo von a haben.
Es steht schon da.

So recht Herr Dr.  wink
\(\endgroup\)


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Zoe505
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-14


Mir war die Antwort von p=5 natürlich auch bewusst, ich wollte lediglich noch wissen , ob die Aufgabe somit vollständig ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-02-14

\(\begingroup\)
Ja, das reicht.
Es sollte irgendwo aus deinen Vorlesungsnotizen ersichtlich sein, dass jedes Polynom in \(\mathbb{Q}[X]\), das \(a\) als Nullstelle besitzt, ein (Polynom-)Vielfaches des Minimalpolynoms ist.
Gäbe es also ein Polynom kleineren Grades als 4, sodass \(a\) Nullstelle dieses Polynoms ist, so wäre \(X^4-10X^2+5\) ein Produkt zweier Polynome vom Grad \(\geq 1\). Dann wäre \(X^4-10X^2+5\) aber nicht irreduzibel.
Also: Ja, es reicht zu zeigen, dass dieses Polynom irreduzibel ist.
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-02-14

\(\begingroup\)
2018-02-14 11:57 - juergen007 in Beitrag No. 9 schreibt:
$f=x^4-10x^2+5$

Natürlich war es eine "rhetorische Frage"  an einen TE so dass er selber die Anwort gibt. Ich weiss dass es 5 ist, aber er sollte das selbst rausfinden! $5|10$ aber $5^2 \nmid 5$

Hm, du hast also aus #4 herausgelesen, dass der TE mit dem Eisenstein Kriterium nicht zurecht kommt? Diesen Eindruck hatte ich in keinster Weise, sondern tatsächlich ging es ihm etwas ganz anderes, wie er inzwischen ja auch selbst bestätigt hat.  eek

Natuerlich kommen bei anw. der p/q Formel auf die substitierten form $f=y^2-10y+5$ Wurzeln rein nämlich genau das $y_0=sqrt(a)$ so das wir das Mipo von a haben.
Es steht schon da.

Ich muss gestehen, ich habe keine blasse Ahnung, worauf du hinaus willst. Aber belassen wir es einfach dabei, sonst wird noch eine unendliche Geschichte daraus.  biggrin
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-02-14

\(\begingroup\)
2018-02-14 13:27 - weird in Beitrag No. 12 schreibt:
2018-02-14 11:57 - juergen007 in Beitrag No. 9 schreibt:
$f=x^4-10x^2+5$

Natürlich war es eine "rhetorische Frage"  an einen TE so dass er selber die Anwort gibt. Ich weiss dass es 5 ist, aber er sollte das selbst rausfinden! $5|10$ aber $5^2 \nmid 5$


Ich muss gestehen, ich habe keine blasse Ahnung, worauf du hinaus willst. Aber belassen wir es einfach dabei, sonst wird noch eine unendliche Geschichte daraus.  biggrin

Das Minimalpolynom von $a$ wie oben steht schon da: \(f(x)=X^4-10X^2+5\) ist irreduzibel über $\mathbb Q[x]$. Die Aufgabe ist gelöst.

\(\endgroup\)


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