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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenzradius von Potenzreihen
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Universität/Hochschule Konvergenzradius von Potenzreihen
Simon_98
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.01.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-15


Tag allerseits!

Hätte eine kurze Frage zum Konvergenzradius von Potenzreihen:

Im Lehrbuch steht es ja so:
fed-Code einblenden

Dann mit der Cauchy-Formel (wir dürfen nur diese benutzen! Keine Euler-Formel!)

fed-Code einblenden
(Das soll die n-te Wurzel sein, hab sie nicht gefunden)

So, nun die Aufgabe:

fed-Code einblenden

Konvergenzradius bestimmen.
In den Lösungen haben sie Folgendes gemacht:

fed-Code einblenden

So, nun frage ich mich:
Wenn ich es machen würde, wie in der Literatur würde ich Folgendes tun (also mein Weg bisher) :

fed-Code einblenden

Nun ist die Frage, wieso sie in den Lösungen (Wolfram Alpha auch!), das (z-1)^k mit hinein in de Formel genommen haben, ich dachte man nimmt nur den Teil davor, also das " c^n"?

Brauche dringend Hilfe!!
Mfg Simon



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AlgebraicInteger
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.11.2017
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-15

\(\begingroup\)
Hallo,

um die Konvergenzradius zu bestimmen, sollte die Potenzreihe auch die Form einer Potenzreihe haben:\[
\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k.
\]Deine Reihe hat diese Form (noch) nicht!
Wie kommt man jetzt auf den Konvergenzradius von 2? Wir stellen die Reihe um:\[
\sum_{k=0}^\infty\tfrac{1}{4^k}\cdot(x-1)^{2k}=\sum_{k=0}^\infty\tfrac{1}{(2^2)^k}\cdot(x-1)^{2k}=\sum_{k=0}^\infty\tfrac{1}{2^{2k}}\cdot(x-1)^{2k}.
\] Am Ende erhalten wir eine Potenzreihe der Form $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-1)^n$ mit\[
a_n=\begin{cases}
\left(\frac{1}{2}\right)^n & \text{ falls n gerade}\\
0 & \text{ sonst}
\end{cases}.
\]Damit lässt jetzt auch der gewünschte Konvergenzradius von 2 berechnen.

Außerdem gilt $(x-1)^{2k}=(x-1)^{k+k}=(x-1)^k\cdot(x-1)^k$ und nicht: $(x-1)^{2k}=(x-1)^2\cdot(x-1)^k$.

2018-02-15 00:39 - Simon_98 im Themenstart schreibt:
Nun ist die Frage, wieso sie in den Lösungen (Wolfram Alpha auch!), das (z-1)^k mit hinein in de Formel genommen haben, ich dachte man nimmt nur den Teil davor, also das " c^n"?
Es ist manchmal auch sinnvoll die Potenzreihe als eine Reihe aufzufassen und sie mit Reihenkonvergenzkriterien zu untersuchen. Das hat vermutlich Wolframalpha gemacht.

Viele Grüße
\(\endgroup\)


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Simon_98
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.01.2018
Mitteilungen: 3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-15

\(\begingroup\)
Hallo, vielen Dank für die Antwort!
EinEine Frage hätte ich noch:
Wieso muss man das x mit in die Wurzel nehmen? Ich dachte, man solte nur dem Vorfaktor, hier 1/4^k nehmen?
Also Warum mache ich das bei anderen Potenzreihen nicht auch?:)

Lg
& Danke!

2018-02-15 06:33 - AlgebraicInteger in Beitrag No. 1 schreibt:

um die Konvergenzradius zu bestimmen, sollte die Potenzreihe auch die Form einer Potenzreihe haben:\[
\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k.
\]Deine Reihe hat diese Form (noch) nicht!
Wie kommt man jetzt auf den Konvergenzradius von 2? Wir stellen die Reihe um:\[
\sum_{k=0}^\infty\tfrac{1}{4^k}\cdot(x-1)^{2k}=\sum_{k=0}^\infty\tfrac{1}{(2^2)^k}\cdot(x-1)^{2k}=\sum_{k=0}^\infty\tfrac{1}{2^{2k}}\cdot(x-1)^{2k}.
\] Am Ende erhalten wir eine Potenzreihe der Form $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-1)^n$ mit\[
a_n=\begin{cases}
\left(\frac{1}{2}\right)^n & \text{ falls n gerade}\\
0 & \text{ sonst}
\end{cases}.
\]Damit lässt jetzt auch der gewünschte Konvergenzradius von 2 berechnen.

Außerdem gilt $(x-1)^{2k}=(x-1)^{k+k}=(x-1)^k\cdot(x-1)^k$ und nicht: $(x-1)^{2k}=(x-1)^2\cdot(x-1)^k$.

2018-02-15 00:39 - Simon_98 im Themenstart schreibt:
Nun ist die Frage, wieso sie in den Lösungen (Wolfram Alpha auch!), das (z-1)^k mit hinein in de Formel genommen haben, ich dachte man nimmt nur den Teil davor, also das " c^n"?

\(\endgroup\)


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