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Analysis » Folgen und Reihen » Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge, wann gilt es umgekehrt?
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Autor
Universität/Hochschule J Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge, wann gilt es umgekehrt?
greedolin
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 17.02.2018
Mitteilungen: 9
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-22


Hi,

bin grade am überlegen, warum jede konvergente Folge in einem metrischen Raum eine Cauchy Folge ist, warum das aber nicht umgekehrt gilt. In welchem Fall gilt es denn umgekehrt?



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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8159
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-22


Hallo greedolin,

die Umkehrung ist genau die Definition von "Vollständigkeit".

Wally



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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1071
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
Hallo greedolin,

die Hinrichtung ist in einem metrischen Raum ganz leicht zu zeigen. Versuche es am besten selbst. Die Rückrichtung ist, wie du schon richtig erkannt hast, i.A. falsch. Diejenigen metrischen Räume, in denen die Umkehrung gilt, bezeichnet man als vollständig. Die reellen Zahlen und auch \(\mathbb{R}^n\) mit der üblichen Metrik sind die typischen Beispiele für solche Räume. Ein Gegenbeispiel ist z.B. \(\mathbb{Q}\) mit dem Betrag. Hier passiert folgendes: es gibt rationale Cauchy-Folgen, deren Grenzwert irrational ist, sie also quasi außerhalb von \(\mathbb{Q}\) konvergieren. Ein Beispiel wäre \(a_n=\sum_{i=0}^n\frac{1}{n!}\). Jeder Folgenglied ist rational, die Folge konvergiert allerdings bekanntlich gegen e. Im übrigen kann man jeden metrischen Raum zu einem vollständigen metrischen Raum R "vervollständigen". Das geht, indem man sich die Menge aller Cauchy-Folgen auf R modulo einer bestimmten Äquivalenz-Relation anschaut und eine Metrik auf diesem Raum definiert. In diesem Sinne ist \(\mathbb{R}\) eine Vervollständigung von \(\mathbb{Q}\).

Hoffentlich beantwortet dies ein bisschen deine Frage

lg Wladimir

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Orthonom
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 270
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-22


Hallo greedolin,

es ist, wie es Wally sagt.

Das klassische Beispiel hierzu sind die rationalen Zahlen.
Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge, aber nicht jede
Cauchy-Folg ist in den rationalen Zahlen konvergent (etwa
dann, wenn Du eine irrationale Zahl durch eine Folge rationaler
Zahlen approximierst).

Viele Grüße,
Orthonom

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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