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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL höherer Ordnung » Beispiel lineare DGL mit konstanten Koeffizienten
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Universität/Hochschule J Beispiel lineare DGL mit konstanten Koeffizienten
X3nion
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  Themenstart: 2018-02-27

Hallo zusammen! Ich verstehe etwas bei einem Beispiel über Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten nicht: y''' - 2y'' + y' - 2y = 0 Es wird folgendes Fundamentalsystem von Lösungen $ \phi_{k}: \IR \to \IR $ berechnet: $ \phi_{1}(x) := e^{ix} , \phi_{2}(x) := e^{-ix}, \phi_{3}(x) := e^{2x} $ Durch geeignete Linearkombination lässt sich daraus ein reelles Fundamentalsystem gewinnen: $ \psi_{1}(x) = \frac{1}{2} (\phi_{1}(x) + \phi_{2}(x)) = cos x \psi_{2}(x) = \frac{1}{2i} (\phi_{1}(x) - \phi_{2}(x)) = sin x $ Da die Matrix $ \frac{1}{2} $ $ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -i & i \\ \end{array} \right) $ invertierbar ist, lassen sich umgekehrt $\phi_{1}$ und $\phi_{2}$ aus $\psi_{1}$ und $\psi_{2}$ linear kombinieren, also bilden die Funktionen $ \psi_{1}(x) = cos x , \psi_{2}(x) = sin x}, \phi_{3}(x) := e^{2x} $ ein reelles Fundamentalsystem von Lösungen der Differentialgleichung. Meine Frage nun dazu: Was hat die Invertierbarkeit besagter Matrix damit zu tun, dass sich $\phi_{1}$ und $\phi_{2}$ aus $\psi_{1}$ und $\psi_{2}$ linear kombinieren lassen? Ich wäre euch wie immer sehr dankbar für eure Antworten! Viele Grüße, X3nion

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lula
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-27

Hallo \ einfach dass die Gleichungen, die rauskommen um die \Phi aus den \Psi zu bestimmen eindeutig lösbar sind. (statt das zu schreiben kann man auch einfach die Kombination der \Psi angeben, mit der man die \Phi erreicht. Gruß ledum

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X3nion
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-01

Hallo ledum und vielen Dank dir für deine Antwort, nun ist es mir klar! Viele Grüße, X3nion

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X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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