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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Was ist eigentlich eine Galoisgruppe?
Thema eröffnet 2018-03-06 00:21 von
juergen007
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Seite 3   [1 2 3]   3 Seiten
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Universität/Hochschule J Was ist eigentlich eine Galoisgruppe?
TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.80, eingetragen 2018-08-16

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$I=(i)$
$J=(j)$
$\Rightarrow i \in I, j \in J$
$M=I\cap J$
$\Rightarrow i,j\in M$
$\Rightarrow i,j\in M$ ist schon falsch. Wegen fehlender Erklärungen kann ich auch nicht unterscheiden, ob das alles nur Rechnungen sind oder auch anderes enthält. Hauptideale werden hier nicht benötigt.

Ich gebe einfach ein paar Bezeichnungen vor: \(r\in R;\ c,d\in \mathfrak{a\cap b}\). Mehr Buchstaben sind nicht nötig. Jetzt hätte ich gern dazu zwei Teile:
1) Was ist zu zeigen?
2) Rechnung/Beweis.

Zu den anderen Mengen $\mathfrak{a+b, a\cdot b, a\cup b}$.
Definition des Produkts.
$\mathfrak{a\cdot b}:=\{a_1b_1 + \ldots + a_nb_n\mid n\in\IN;a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak{a};b_1, \ldots, b_n \in \mathfrak{b}\}$
$\mathfrak{a+b, a\cdot b}$ sind Ideale.
$\mathfrak{a\cup b}$ ist eine Ideal, falls \(\mathfrak{a\subseteq b}\) oder \(\mathfrak{b\subseteq a}\) gilt.
Es gelten die Inklusionen $\mathfrak{a\cdot b \subseteq a\cap b\subseteq a,b \subseteq a\cup b\subseteq a+ b}$ mit dem Zusatz:
\(\mathfrak{a\cdot b = a\cap b \iff a+b}=R\).

Die Beweise zu "$\mathfrak{a+b, a\cdot b}$ sind Ideale." solltest Du Dir schon überlegen und für $\mathfrak{a\cup b}$ ein Gegenbeispiel suchen.
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.81, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-17


Ja vorläufiges Danke!  Mir tut immer das eine linke Handgelenk weh nach 2 Stunden tippen,
 Und die meiste Zeit braucht die Latex Formatierung 😐



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.82, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-17

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2018-08-16 21:07 - TomTom314 in Beitrag No. 80 schreibt:

Ich gebe einfach ein paar Bezeichnungen vor: \(r\in R;\ c,d\in \mathfrak{a\cap b}\). Mehr Buchstaben sind nicht nötig. Jetzt hätte ich gern dazu zwei Teile:
1) Was ist zu zeigen?
2) Rechnung/Beweis.


zu zeigen ist:
$\mathfrak{a\cap b}$ ist ein Ideal in $\mathbb R$.
$r,s\in R$ beliebig.
Dann sei a Erzeugendes von $\mathfrak{a}$, b Erzeugendes von $\mathfrak{b}$.
Damit sind $\forall r\in\mathbb R:ra\in\mathfrak{a},\forall s\in\mathbb R:sb\in\mathfrak{b}$ per Definition der Ideale $\mathfrak{a}$ bzw. $\mathfrak{b}$, die ja von einem Basiselement $a\in\mathbb R$ bzw. $b\in\mathbb R$ erzeugt werden.

Wir wissen: Irgendein $d$ ist im Schnitt von $\mathfrak{a\cap b} \ne\emptyset$, zumindest 0.
Ein Ringelement c ist dann in $\mathfrak{a\cap b}$, wenn sowohl $c\in\mathfrak{a}$ als auch $c\in\mathfrak{b}$ ist, denn das ist die mengentheoretische Definition des Durchschnitts 2er Mengen.
Ist das wieder ein Ideal?

An einem Beispiel B=(6), A=(3),
$\mathfrak{a}=(3),\mathfrak{b}=(6)$ sieht man es sofort dass $(6)\subset(3)$ ist.
Wenn weder a|b noch b|a, dann ist der Schnitt entweder 0  oder $(kgv(a,b))$. Formal ist  es schwieriger...
Und frgae mich ob die Verknuepfungen nicht dich srhr srk von der Ringart abhaengen
also bei  dedekind ringen am besten zu zeigen, muessen aber  auch in zB $Z_4$ gelten oder?

to be continued
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.83, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-17

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2018-08-16 21:07 - TomTom314 in Beitrag No. 80 schreibt:

Ich gebe einfach ein paar Bezeichnungen vor: \(r\in R;\ c,d\in \mathfrak{a\cap b}\). Mehr Buchstaben sind nicht nötig. Jetzt hätte ich gern dazu zwei Teile:
1) Was ist zu zeigen?
2) Rechnung/Beweis.


zu zeigen ist:
$\mathfrak{a\cap b}$ ist ein Ideal in $\mathbb R$.
$r,s\in R$ beliebig.
Dann sei a Erzeugendes von $\mathfrak{a}$, b Erzeugendes von $\mathfrak{b}$.
Damit sind $\forall r\in\mathbb R:ra\in\mathfrak{a},\forall s\in\mathbb R:sb\in\mathfrak{b}$ per Definition der Ideale $\mathfrak{a}$ bzw. $\mathfrak{b}$, die ja von einem Basiselement $a\in\mathbb R$ bzw. $b\in\mathbb R$ erzeugt werden.

Wir wissen: Irgendein $d$ ist im Schnitt von $\mathfrak{a\cap b} \ne\emptyset$, zumindest 0.
Ein Ringelement c ist dann in $\mathfrak{a\cap b}$, wenn sowohl $c\in\mathfrak{a}$ als auch $c\in\mathfrak{b}$ ist, denn das ist die mengentheoretische Definition des Durchschnitts 2er Mengen.
Ist das wieder ein Ideal?

An einem Beispiel B=(6), A=(3),
$\mathfrak{a}=(3),\mathfrak{b}=(6)$ sieht man es sofort dass $(6)\subset(3)$ ist.
Wenn weder a|b noch b|a, dann ist der Schnitt entweder 0  oder $(kgv(a,b))$. Formal ist  es schwieriger...
Und frage mich ob die Verknüpfungen nicht auch sehr stark von der Ringart abhängen.
Bei Dedekindringen am besten zu zeigen, müssen aber auch in z.B. $Z_4$ gelten oder?

to be continued ...

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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.84, eingetragen 2018-08-17

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Dann sei a Erzeugendes von $\mathfrak{a}$, b Erzeugendes von $\mathfrak{b}$.
$\mathfrak{a,b}$ sind keine Hauptideale. Daher gibt es auch kein Erzeugendes Element a von \(\mathfrak{a}\)

zu zeigen ist:
$\mathfrak{a\cap b}$ ist ein Ideal in $\mathbb R$.
Das ist Die Behauptung. Was muß jetzt alles nachgerechnet werden (Definition eines Ideals!!!)

Und frage mich ob die Verknüpfungen nicht auch sehr stark von der Ringart abhängen. ...
Das ist hier alles irrelevant. Ein Ideal hat eine Definiton und es muß nur gezeigt werden, dass \(\mathfrak{a\cap b}\) dieser Definiton genügt.
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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.85, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-18

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In wiki

"In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eine Teilmenge eines Rings, die das Nullelement enthält und abgeschlossen gegenüber Addition und Subtraktion von Elementen des Ideals sowie abgeschlossen gegenüber Multiplikation mit beliebigen Ringelementen ist."

An sich nur ein monoid bez + und mal?
Nicht mal das? Ein Prama zu plus und mal ? Ok und abelsch? nicht gefordert.
keine Rede von Assoziativ etc.

Man kann z.B.  a,b,c fest aus R nehmen und  $I=(a,b,c)$ definieren als $ra+sb+tc :r,s,t\in R, a,b,c \in R$ und erstmal zeigen, dass das überhaupt ein Ideal in R ist z.B. $\mathfrak{a+b+c}$ hehme ich mal an nach obiger Def ist.
Dann ein anderes, ein 2tes mit l fest $\mathfrak{L}: rl, r\in R$.

Das wäre eine Konstruktion. von der ich die durschnittseigenschaft relativ  easy zeigen könnte...
Es würde aber nicht reichen daran irgendwas zu zeigen, weil es evtl. andere Ideale Gibt die anders konstruiert sind. Die gar keiner kennt. Oder man gibt es durch Angabe aller Elemente zB $\{0,1,2,3\}$ der halbgruppe oder was ist das  (zumindest ein Ring aber nicht mehr)
(Anm.: Ein nicht nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1)
$\mathbb Z_4$ an. In der zumindst (1) ,(2), (3) Ideale sind, in denen 0 enthalten ist.

$(3) = \{3,2,1,0\}$ bei Modulo Addition 3+3..
$(3) = \{3,1,2,0\}$ bei Modulo Multiplikation:

$2*2=0$.
$1*1=1$
$1*3=3$
$3*3=1$
$3*2=2$
$2+2=0$
$2+1=3$
.
.

(3) ist offensichtlich ein Ideal in $\mathbb Z_4$.
Nicht ganz fertig, denn man muesste an sich alle je 16 Möglichen Additionen und  Multiplikation rechnen. aber es gibt sicher einfachre Verfahren.

Sogar sind Addition Multiplikation surjektiv. Und linear, das muesste ich genauer anschauen.
Was nicht gefordert ist nur Abgeschlossenheit.
Mit (x) gebe ich ja eine Konstruktion vor das mag aber nicht die einzig seeligmachende sein wer weiß?

So bekomme ich grade eine Unklarheit über den Begriff "mathfrak" und (a,b,c) und "Ideal". Stimmt denn wiki?
sry
Danke

Erstaunlich schöne Aufgabe zu Zahlen, Gruppen und Ring theorie!
und dass man leicht von falschen Vorrausetzungen ausgeht..

Anm.: In der Galoistheorie über char 0 Körpern sind ja meist  zunächst faktorielle eindimensionale kommutative Integritäts-Ringe behandelt. wie $\mathbb Z$, oder?


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.86, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-19

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2018-08-16 21:07 - TomTom314 in Beitrag No. 80 schreibt:
Definition des Produkts.
$\mathfrak{a\cdot b}:=\{a_1b_1 + \ldots + a_nb_n\mid n\in\IN;a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak{a};b_1, \ldots, b_n \in \mathfrak{b}\}$



$\mathfrak{a+b, a\cdot b}$ sind Ideale.


$\mathfrak{a\cup b}$ ist eine Ideal, falls \(\mathfrak{a\subseteq b}\) oder \(\mathfrak{b\subseteq a}\) gilt.


Es gelten die Inklusionen $\mathfrak{a\cdot b \subseteq a\cap b\subseteq a,b \subseteq a\cup b\subseteq a+ b}$ mit dem Zusatz:
\(\mathfrak{a\cdot b = a\cap b \iff a+b}=R\).

Entscheidend ist hier einzig der Begriff Abgeschlossenheit:

$a,b \in \mathfrak{I}\Rightarrow ab=c, a+b=d: a,b,c,d \in \mathfrak{I}$.
$e,f \in \mathfrak{L}\Rightarrow ef=g, e+f=h: e,f,g,h \in \mathfrak{L}$.

$\mathfrak{I}$ und $\mathfrak{L}$ können total disjunkt bis auf 0 sein.im folgenden lasse ich "bis auf 0" weg.

Sie können sich teil überschneiden, ineinander liegen, gleich sein.
ineinander geschieht bei a|e oder e|a. dann ist der Schnitt das max(a,e)
Das geht bei Zahlen, und anderen anordenbaren Dingen,  weiss den Namen eben nicht euklidischer Ring?

Das max ist irgenwie falsch. weil es meist kein kleiner grösser gibt.
Wir können Teilbarkeit in Ringen nutzen aber nicht dividieren. Was ist aber bei Vektoren?
Teilüberschneidung ist nicht möglich bei Idealen.
 
Das wurde mal so gelöst:  
- $a \in \mathfrak{I}$
- $ra =c\in \mathfrak{I}$
- $b \in \mathfrak{I}$
- $rb=d \in \mathfrak{I}$
- $e \in \mathfrak{L}$
- $re =g\in \mathfrak{L}$
- $f \in \mathfrak{L}$
- $rf =h\in \mathfrak{L}$

- 0 ist in jedem Ideal, also auch im Durchschnitt.
- wenn d und h im Durchschnitt sind, dann waren a,b,e,f in jedem Ideal und somit auch z.B. a-e in jedem Ideal, also wieder im Durchschnitt.
- wenn g aus dem Durchschnitt ist und r aus dem Ring. Dann waren e,f aus jedem Ideal und somit re,rf auch in jedem Ideal also wieder im Durchschnitt
- Enthält ein Ideal J die Menge W, so ist <W> als Schnitt von J mit anderen Idealen (nämlich allen anderen, die W auch enthalten) in J  enthalten.

fand ich ehrlicherweise in einem älteren Post. Bis auf den dritten Satz der das grösser kleiner Problem umgehen will, versteh ich das als einleuchtend.

Thx 2 Tricer... ää Martin;)

LinkDurchschnitt über Ideale
Die Vereinigung müsste an sich wieder ein Ideal sein, denn wenn $\mathfrak{I}$ abgeschlossen ist und $\mathfrak{L}$  dann auch die Vereinigung beider. Und abgeschlossen, aber etwas anderes als ein Ideal. da komme ich eben nicht weiter

anderes später
Dank


-----------------------

"Hier darf jeder machen was er will, natürlich im Rahmen der freiheitlich demokratischen Grundordnung versteht sich!"
Degenhardt
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.87, eingetragen 2018-08-19

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Also wir sind hier mittlerweile bei mindestens der dritte Iteration zu einem Beweisversuch zu "\(\mathfrak{a\cap b}\) Ideal" und ich habe den Verdacht, dass hier noch einige Iteration folgen könnten...

Zu Wikipedia: Vergiß, dass es Wikkipedia gibt. Zum lernen ist es schlicht ungeeignet. Such Dir ein Algebra- und Aufgabenbuch und arbeite es durch. Dieses Buch ist dann Dein Universium. Alles, was Du zu Algebra benötigst, findest Du dort. Hier im Form findest Du genug Empfehlungen zur Wahl eins Buches. Das Skript aus "Wir lernen Galois" ist eher ungeeignet.

Wie ist ein Beweis aufgebaut? Hier findest Du in dem Beitrag von Reik zwei Dokumente, die Du auf jeden Fall lesen und anwenden solltest.

Zurück zu \(\mathfrak{a\cap b}\).

Definition eines Ideals. Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement. \(\mathfrak{a}\subseteq R\) heißt Ideal in R genau dann, wenn gilt:
1) \(\mathfrak{a}\neq\emptyset\)
2) \(\mathfrak{a}\) ist eine Untergruppe bezüglich "+".
3) \(\mathfrak{a}\) ist abgeschlossen unter Multiplikation mit Elementen aus R.

Diese Bedingungen lassen sich auch noch etwas besser/anders mit Formeln beschreiben.
1') \(0\in\mathfrak{a}\)
2') \(\forall c,d\in\mathfrak{a}:c+d\in\mathfrak{a}\)
3') \(\forall r\in R, \forall c\in\mathfrak{a}:r\cdot c\in\mathfrak{a}\)

Um zu zeigen, dass \(\mathfrak{a\cap b}\) ein Ideal ist, mußt Du einfach nur 1')-3') nachrechnen (in weniger als 20 Zeilen).
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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.88, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-20

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2018-08-19 14:27 - TomTom314 in Beitrag No. 87 schreibt:
Also wir sind hier mittlerweile bei mindestens der dritte Iteration zu einem Beweisversuch zu "\(\mathfrak{a\cap b}\) Ideal" und ich habe den Verdacht, dass hier noch einige Iteration folgen könnten...

Zu Wikipedia: Vergiß, dass es Wikkipedia gibt. Zum lernen ist es schlicht ungeeignet. Such Dir ein Algebra- und Aufgabenbuch und arbeite es durch. Dieses Buch ist dann Dein Universium. Alles, was Du zu Algebra benötigst, findest Du dort. Hier im Form findest Du genug Empfehlungen zur Wahl eins Buches.

Das Skript aus "Wir lernen Galois" ist eher ungeeignet.
Stimmt ich suche immner noch eine gutes ebook, denn am Desktop kann ich am besten arbeiten lesen sehen schreiben



Wie ist ein Beweis aufgebaut? Hier findest Du in dem Beitrag von Reik zwei Dokumente, die Du auf jeden Fall lesen und anwenden solltest.
ok guter Tip.


Zurück zu \(\mathfrak{a\cap b}\).

Definition eines Ideals. Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement. \(\mathfrak{a}\subseteq R\) heißt Ideal in R genau dann, wenn gilt:
1) \(\mathfrak{a}\neq\emptyset\)
2) \(\mathfrak{a}\) ist eine Untergruppe bezüglich "+".
3) \(\mathfrak{a}\) ist abgeschlossen unter Multiplikation mit Elementen aus R.

Diese Bedingungen lassen sich auch noch etwas besser/anders mit Formeln beschreiben.

1') \(0\in\mathfrak{a}\)
2') \(\forall c,d\in\mathfrak{a}:c+d\in\mathfrak{a}\)
3') \(\forall r\in R, \forall c\in\mathfrak{a}:r\cdot c\in\mathfrak{a}\)

Um zu zeigen, dass \(\mathfrak{a\cap b}\) ein Ideal ist, mußt Du einfach nur 1')-3') nachrechnen (in weniger als 20 Zeilen).

zur Notation:

Wenn a ein Element einer Plusgruppe $\mathbb G$ ist, dann ist \(\mathfrak{a}\) ein Ideal zum Ring R die Menge aller ra mir $r\in \mathbb R$.
Ich bezeichne dann a als Erzeugendes vom Ideal \(\mathfrak{A}\) wenn a in der Gruppe liegt.
Aber vielleicht messe ich dem Erzeugen zu viel Bedeutung bei. ;)

Wenn \(\mathfrak{K}\) ein nichtleeres Ideal zum Ring R ist weiss ich nichts ueber die Konstrutionsvorschrift.

Die GL(n,Z) ist eine Plusgruppe und die Multiplikation mit den Skalaren aus  z.B. Z ist ein Ideal. Die Multiplikation der Vektoren untereinanber ist nicht gefordert.
Man könnte also ein Ideal \(\mathfrak{v}\) aus $v=\vec (1,0,0)$ erzeugen durch $<\vec(1,0,0)>$. Oder aus beliebigen $v=\vec a$.

schreibe bitte mal an jede Zeile im folgenden stimmt /nicht/irrelevant

Es gilt:
x) $\mathbb G,H$ sind Gruppen daher nicht leer und enthalten 0.

Es  seien:
x) \(\mathfrak{I}=ri,\mathfrak{J}=sj\) die durch Multiplikation enstehenden Vielfachen eines $i\in\mathbb G, j\in\mathbb H$.
x) \(\mathfrak{i}\neq\emptyset,\mathfrak{j}\neq\emptyset \), Elemente aus 2 Untergruppen bezüglich "+", dh $i\in \mathbb G,j\in \mathbb H$.
Dann sind die durch Multiplikation enstehenden Vielfachen $ri \in \mathfrak{I},sj \in \mathfrak{J}, r,s \in R$.

x) $\mathbb G,\mathbb H$ ist nicht unbedingt dieselbe Untergruppe bezüglich "+". In dem Falle waeren
$\mathfrak{I},\mathfrak{J}$ identisch.

x)Seien \(\mathfrak{I}=ri,\mathfrak{J}=sj\) die durch Multiplikation enstehenden Vielfachen eines i bzw j.

Per Definition sind
x) \(\mathfrak{I},\mathfrak{J}\) abgeschlossene nichtleere Ideale unter Multiplikation mit Elementen aus einem kommutativen Ring R mit Einselement.

Es folgt weiter:
x) Der Schnitt der Ideale $\mathfrak{I}\cap\mathfrak{J}=\mathbb O$ enthält mindestens 0.
x) man weiss: wenn $ri \in \mathfrak{I}, sj \in \mathfrak{J}$ dann $i\in\mathfrak{I}$ und $j\in\mathfrak{J}$.

x) Gefordert ist: der Durchschnitt dieser ri und sj existiert und ist ein Ideal.

x) Sei $\mathfrak{I}\cap\mathfrak{J}=\mathbb{O}$ zunächst nur eine Menge $\mathbb O$ gewisser Ringelemente fuer die gilt $ri \in\mathfrak{I}$ und $sj\in\mathfrak{J}, ri=sj \in\mathbb O$.

x) Die Frage ist:Was genau ist in $\mathbb{O}$?

x) Schneide alle ri die aus i entstehen und die gleich gewissen sj sind die aus j enstehen.

x) Zu zeigen ist: der Durchschnitt $\mathbb{O}$ aller ri und sj ist ein Ideal, d.h. darstellbar als $to, o \in\mathbb G \wedge o \in\mathbb H$.

x) Es gilt: wenn $ri \in \mathfrak{I}, sj \in \mathfrak{J}$ dann $i\in\mathfrak{I}$ und $j\in\mathfrak{J}$.

x) Gesucht werden die r und s, so dass $x=ri, y=rj, i \in  x,y\in \mathfrak{O}$.

x) also finde r,s,t,o, so dass $ri=sj=to \in\mathbb{O}$.

x) Wieso genau ist dies $\mathbb{O}$ ein Ideal?
x) Was ist o?
x) jedenfalls muss es in $\mathbb{G}$ und in $\mathbb{H}$ liegen.
x) also ist $\mathfrak{O}$ ein Ideal.

Es kommt mir falsch vor aber ich lasse es mal so stehen.

Anm.: Was in wiki steht ist definitiv falsch!  Was mich wundert, da da sicher einige gute Leute mitarbeiten oder?

Anm 2: Beweisverfahren wurden nie an der Uni gelehrt, nicht zu meiner Zeit nicht als Entschuldigung.
Man nahm wohl an dass alle M-Studenten die in der Intuition haben oder so.
Statt dessen Satz an Wand, den man erstmal verstehen muss und ein hochkomplexer Beweis der mich zunächst gar nicht interessiert bevor ich nicht weiss was genau ausgesagt wird.
Mitschreiben konnte man kaum so schnell. naja irgendwie gings...durch austausch und nacharbeiten oder stumpfges Abschreiben der Hausaufgaben lösungen von den Genies...
Da floss auch schon mal die eine oder andere Mark hörte ich..
wie in der schule: Non scholae but Prüfung we learn.
Sogar jeder potentielle mathe und Sport Lehrer aspirant musste nun ein anwendung des Homomorphiesatz verstehen und beweisen können unf zwar unter Zeitdruck. Muss das sein?
Heute ist das aber anders aufgeteilt.

\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.89, eingetragen 2018-08-20

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Anm.: Was in wiki steht ist definitiv falsch!  Was mich wundert, da da sicher einige gute Leute mitarbeiten oder?
Der Eintrag bei Wikipedia zu Idealen ist schon richtig. Dir fehlt nur der Kontext / die Erfahrung, um es aufzunehmen.

schreibe bitte mal an jede Zeile im folgenden stimmt /nicht/irrelevant
Das werde ich jetzt nicht machen. Abgesehen von elementaren Fehlern wie \(\mathfrak{I}=ri\), wo auf einer Seite eine Menge und auf der anderen ein Elemnt steht, sind mir das einfach zu viele verschiedene Buchstaben/Variablen. Weiterhin ...

Anm 2: Beweisverfahren wurden nie an der Uni gelehrt, nicht zu meiner Zeit ...
Das läßt nur erahnen, wie groß Deine Lücken tatsächlich sind. Definition, Satz, Beweis ist die mathematische Kommunikation schlechthin. Ich habe einen wesentlich Teil meines Studiums damit verbracht Beweise zu verstehen und zu produzieren. Anhand der Lehrbücher ist auch erkennbar, dass dieses für viele andere Generationen von Studenten zutrift. Solange Du nicht in der Lage bist einen kleine einfachen Beweis zu führen, halte ich es für sinnlos hier fortzufahren. Lineare Algebra ist durchaus dazu geeignet, um entsprechende Grundlagen zu schaffen.

Ich werde jetzt nicht mehr auf Deine Fragen zu Algebra/Galoistheorie eingehen, solange Du keine Grundfertigkeiten bezüglich Beweisen/Lineare Algebra vorweist.
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.90, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-20


frown
Und wie soll ich das tuen?

wie I=ri, wo auf einer Seite eine Menge ...

finde ich ein bisschen pingelig jeder weiss was gemeint ist.
Unter meiner anderen ID habe ich einige gute Beitraege zu LA geschrieben. aber ich brauch hier niemandem was zu "beweisen".
Tschüss at all





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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.91, eingetragen 2018-08-20


Nimm ein Buch zur Linearen Algebra - z.B. Fischer, Jänich, Beutelspacher oder Bosch - und ein begleitendes Aufgabenbuch und arbeite dieses durch. Das kostet viel Zeit, ist anstrengend und teilweise frustrierend. Aber da muß jeder durch, der Mathe studiert. Ohne Grundlage geht es einfach nicht.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.92, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-20


alleine sein kann ich alleie. Dann nehm ich private nachhilfe wenn jeman wen weiss? paar E die stunde by skype oder so.
So bringt das nicht und ich habe auch schon Leuten helfen können, aber wie gesagt ich brauch nichts aufzurechnen.
ich weiss was ich kann und was nicht.



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juergen007
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\(\begingroup\)
2018-03-10 11:46 - TomTom314 in Beitrag No. 24 schreibt:
Hallo zusammen,

hier hätte noch eine etwas andere Beschreibung für die Relationen. Bei gegeben Zerfällungskörper L und Nullstellen \(x_1,\ldots,x_4\) erhält man einen surjektiven Einsetzungshomomorphismus.

Das ist was es ist:  die vollständige Definition einer Galoisgruppe:

\[\varphi:\IQ[X_1,\ldots,X_4]\to L\].

Damit ist \(\mathcal{I}:=\ker(\varphi)\) ein maximales Ideal (und somit prim), welches offensichtlich die Elemente \(f(X_i)\) enthält und in diesem Beispiel auch \(X_{1/2}^2-5,X_{3/4}^2-7\). Aus \(X_1^2-X_2^2\in\mathcal{I}\) und \(x_1\neq x_2\) folgt \(X_1+X_2\in\mathcal{I}\).
Zu zeigen noch: das ist wirklch ein Ringhomomorphismus.
Die Summe von Idealen ist ein Ring, usw.

All diese möglichen $\varphi$ bilden eine Gruppe, was noch zu beweisen ist.
Eben die Galoisgruppe eines Polynoms f(x)  mit den Nullstellen $x_{1,\ldots 4}$ aus einem hier definierten Polynomringes Q[x],


maximales Ideal (und somit prim),

Die Folgerung ist nicht klar, denn sind alle maximalen Ideale eines hier nicht definierten Rings Primideale?
Für welche Ringe gilt das?
Ich meine zumindest für alle faktoriellen Intergitätsringe mit 1. und alle Hauptidealringe.

Die Aussage $\forall\varphi_i, \varphi_i(x_i)=0,(x_i)\subseteq\ker(\varphi_i),\sum_{i=1}^n (x_i)=\ker(\varphi_i)$ ist an sich fast die Hauptaussage der Galoistheorie.
Edit: kann wiederum nicht sein, denn wenn $x_i$ eine Nullstelle von $f(x)$ ist, besteht das Ideal $(x_i)$ nicht nur aus Nullstellen...ist nicht im $\ker(\varphi_i)$.
Ich muss das mal anders formulieren.
Seien $x_i$ Nullstellen von f(x), dann $\exists a_i:\sum_{i=1}^n (a_ix_i)\in\ker(\varphi)$.
$\varphi$ ist ein surjektiver Einsetzungshomomorphismus.

\(\mathcal{I}:=\mathcal{(x_1)+...+(x_4)}\) ist dann natürlich vorausgesetzt und zu zeigen das diese Summe auch ein Ideal ist.
was ich eben nicht hinkriege.

Error: das git natürlich für $\mathbb Q$ und $\mathbb Q[X]$.

End of edit 13:55
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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.94, eingetragen 2018-08-21

\(\begingroup\)
2018-08-21 12:01 - juergen007 in Beitrag No. 93 schreibt:


Die Folgerung ist nicht klar, denn sind alle maximalen Ideale eines hier nicht definierten Rings Primideale?
Für welche Ringe gilt das?
Ich meine zumindest für alle faktoriellen Intergitätsringe mit 1. und alle Hauptidealringe.



Ja, das gilt in beliebigen Ringen (kommutativ, mit 1). Der übliche Beweis geht so: sei \( I \) ein Ideal in einem Ring \( R \). Dann ist $I$ genau dann prim, wenn der Faktorring $R/I$ ein Integritätsring ist und $I$ ist genau dann maximal, wenn $R/I$ ein Körper ist. Weil jeder Körper ein Integritätsring ist, ist damit auch jedes maximale Ideal ein Primideal.
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.95, eingetragen 2018-08-21

\(\begingroup\)
Das ist was es ist:  die vollständige Definition einer Galoisgruppe:
falsch

Zu zeigen noch: das ist wirklch ein RingHomomorphismus.
offensichtlich*
Die summe von Idealen ist ein Ring, usw.
falsch

All diese möglichen $\varphi$ bilden eine Gruppe, was noch zu beweisen ist.
Eben die Galoisgruppe eines Polynoms f(x)  mit den Nullstellen $x_{1,\ldots 4}$ aus einem hier definierten Polynomringes Q[x],
unklar/falsch


maximales Ideal (und somit prim),
Die Folgerung ist nicht klar, ...
offensichtlich*

Die Aussage ... fast die Hauptaussage der Galoistheorie.

\(\mathcal{I}:=\mathcal{(x_1)+...+(x_4)}=\mathcal{I}\)...
falsch und falsch

Wenn Du meine Beiträge zitierst und so hoffnungslos verdrehst, werde ich Dir auch in Zukunft dranschreiben, dass es falsch ist, aber auf eine Begründung verzichten. Dieses mache ich nicht, um Dir Deine Fehler aufzuzeigen, sondern weil ich es nicht mitansehen kann, wie Du ein - an und für sich - schönes Stück Mathematik verhunzt.

*) offensichtlich / leicht nachzurechnen für alle, die ein paar Grundlagen in der Algebra mitbringen.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.93 begonnen.]
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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.96, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-21

\(\begingroup\)
Thx
Beispiel
$f(x)=(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)(x+i\sqrt3)(x-i\sqrt3)= (x^2-3)(x^2+3)$

Es ist $x1=\sqrt3,x2=-\sqrt3,x3=i\sqrt3,x4=i\sqrt3$.

Und

$\varphi_1=f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)=0$
also im Kern des Einsetzungs-Hommorphismus $\varphi_1$.


(***)

Was noch? z.B.
$\varphi_i=\sum_{i=1}^N f(x_{i})=0$
$\varphi_i=\sum_{i=1}^N f(x_{\sigma_i(i)})=0$
$\varphi_j=\prod_{j=1}^k \sum_{i=1}^N f(x_{\sigma_{i,j}})=0$
auch
$\varphi_j= \sum_{i=1}^N \prod_{i=1}^k f(x_{\sigma_{i,j}})=0$

$\sigma_i$ sind gewisse Permutationen der Indizes i,j in f.
$\varphi_i$ und $\varphi_j$ sind Einsetzungs-Hommorphismen.

Und damit
$\displaystyle\mathfrak {I} = (f(x_{i}))$ Ideal in $\mathbb C$.
auch
$\displaystyle\mathfrak {J}= (\prod_{i=1}^K f(x_{\sigma_{j})})$
und
$\displaystyle\mathfrak {P}= (\sum_{i=1}^P f(x_{\sigma_{i})})$

Also mindestens da die Kerne von $\varphi_{i,j}=\prod_{i=1}^k \sum_{j=1}^K f(x_{\sigma_{i,j}(i)}) \Rightarrow L=0$ sind, sind $\sigma(i)$ Elemente der Galoisgruppe.
womit wir aber NUR lineare Abbildungen erfasst haben.
Jetzt kann ich nicht mehr tippen.

\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.97, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-21

\(\begingroup\)
Anm.:
in obigen
Ab (***) ist fast alles falsch  confused
Ich muss ja die Ideale in $\mathbb D[X_i]$ in der Quell- Menge betrachten wobei $\displaystyle x_i$ Nullstellen von f(x) sind.

Polynome $\displaystyle h(x)\in\mathbb D[X_i], a\in\mathbb Q: h(x)=\sum_{i=0}^K a_i\cdot x_i^i$ und deren Bild unter dem Einsetzungs-Homorphismus im Zerfällungskörper von $\mathbb f:L\subset\mathbb C,\mathbb D[X_i]\subset\mathbb Q[X]$.
später.

\(\endgroup\)


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juergen007
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\(\begingroup\)
viewtopic.php?topic=234607&post_id=1726974>Beitrag No. 95)
Zu zeigen noch: das ist wirklch ein RingHomomorphismus.

offensichtlich*
Mir nicht.


Die Summe von Idealen ist ein Ring, usw.

falsch
Die Summe von Idealen ist ein Ideal?
In Z sind alle Ideale Ringe ohne 1 aber wir wollten den allgemeinen Fall.
Womit wir wieder bei dem Summensatz von vorhin sind, der gilt!
maximales Ideal (und somit prim),
Stammte von Dir

Die Folgerung ist nicht klar, ...
offensichtlich*
welche?
Die Aussage ... fast die Hauptaussage der Galoistheorie.
\(\mathcal{I}:=\mathcal{(x_1)+...+(x_4)}\)
Womit wir wieder bei dem Summensatz von vorhin sind, der gilt!
Was ist falsch?


Zusammenfassung der Idralrechengesetze:


Definition des Produkts.
$\mathfrak{a\cdot b}:=\{a_1b_1 + \ldots + a_nb_n\mid n\in\IN;a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak{a};b_1, \ldots, b_n \in \mathfrak{b}\}$
$\mathfrak{a+b, a\cdot b}$ sind Ideale.
$\mathfrak{a\cup b}$ ist eine Ideal, falls \(\mathfrak{a\subseteq b}\) oder \(\mathfrak{b\subseteq a}\) gilt.
Es gelten die Inklusionen $\mathfrak{a\cdot b \subseteq a\cap b\subseteq a,b \subseteq a\cup b\subseteq a+ b}$ mit dem Zusatz:
\(\mathfrak{a\cdot b = a\cap b \iff a+b}=R\).

Betrachte ich jetzt mal als Nachschlagewerk.

$\mathcal{I}:=\mathcal{(x_1)+...+(x_4)}$ ?
Womit wir wieder bei dem Summensatz von vorhin sind, der gilt!

Ich sehe, dass Ringtheorie verbesserungsfähig ist...
Das wurde alles im 3. Semester Gruppen, Ringe, Körper/erweiterungen,  Polynome, irreduzible, auglösbar bis Galois in 3 Monaten vor 300 Leuten und 3 Klausuren durch gejubelt. Klausuren waren einfach gehalten für Dummies wie mich ;) oder eben Lehramtsanwärter.
Keine Abwertung anwesender Gymnaiallehrer:)

Von den 300 Leuten haben schätze ich etwa 2-5 alles verstanden.. wenn überhaupt.
Gutes Buch fand ich Pignol geschichtlich geordnet mit Aufgaben nice.

Gutes E Book Ring Und Gruppenthorie gesucht.
bei weltbild gabs ein "Tutorial Algebra" hab 20 E paypal berappt die haben nich geliefert Geld zurück
Omg ich schreib hier... interessiert das wen? Wenn nicht dann eben nicht.


*) offensichtlich / leicht nachzurechnen für alle, die ein paar Grundlagen in der Algebra mitbringen.

Was dem einen offensichtlich ist ist dem anderen nicht.
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.99, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-22

\(\begingroup\)
Beispiel: $f(x)=(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)(x+i\sqrt3)(x-i\sqrt3)= (x^2-3)(x^2+3)$
Es ist $x_1=\sqrt3,x_2=-\sqrt3,x_3=i\sqrt3,x_4=i\sqrt3$.
Es ist $f(x_{i=1\ldots 4})=0$

2018-03-10 11:46 - TomTom314 in Beitrag No. 24 schreibt:

hier hätte noch eine etwas andere Beschreibung für die Relationen. Bei gegeben Zerfällungskörper L und Nullstellen \(x_1,\ldots,x_4\) erhält man einen surjektiven Einsetzungshomomorphismus.
\[\varphi:\IQ[X_1,\ldots,X_4]\to L\] Damit ist \(\mathcal{I}:=\ker(\varphi)\) ein maximales Ideal (und somit prim), welches offensichtlich die Elemente \(f(X_i)\) enthält und in diesem Beispiel auch \(X_{1/2}^2-5,X_{3/4}^2-7\). Aus \(X_1^2-X_2^2\in\mathcal{I}\) und \(x_1\neq x_2\) folgt \(X_1+X_2\in\mathcal{I}\).


2018-07-25 09:57 - DavidM in Beitrag No. 61 schreibt:

für den Einsetzungshomomorphimsus wählst du in deinem Fall ein festes $b \in \mathbb{Z}$, z.B. $b=1$ und betrachtest dann die Abbildung, die jedem Polynom $f \in \mathbb{Z}[x]$ den Wert $f(b)$ zuordnet. Für $b=1$ ist das also die Abbildung\[ \varphi: \mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}, f \mapsto f(1). \] Zum Beispiel ist $\varphi(x)=1$ und $\varphi(x^2+2)=3$.

Jetzt wirklich nur 5 ja/nein Fragen:

Bei obigem f(x) ist $\varphi_1=f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)$ ein Einsetzungs-Homomorphismus?
Oder die Summe von 4 Einsetzungs-Homomorphismen?

Ist z.B. $\varphi_a=af(x_1)+bf(x_2)+cf(x_3)+df(x_4)$ mit verschiedenen a,b,c,d ein Einsetzungs-Homomorphismus?

Ist z.B. $\varphi_{a,b,c,d}=f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$ mit verschiedenen a,b,c,d ein Einsetzungs-Homomorphismus?

Ist das Wort Einsetzungs-Homomorphismus an ein bestimmtes f(x) gekoppelt?

Oder an ein bestimmtes b mit f(b)?

Oder beides?
Thx





\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.100, eingetragen 2018-08-22


Hallo,

Punkt 1:
HomOmorphismus, aus dem altgriechischen.

Nein
Ja
Nein
Nein
Nein
Ja
Nein

Wobei du jeweils bei deinen Homom. Quelle und Ziel nicht hingeschrieben hast. Die gehören aber auch zur Abbildung essentiell dazu und auch zum Verständnis.

Das waren 7 ja/nein Fragen.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.101, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-22

\(\begingroup\)
Nochmal wirklich 7 ja/nein Fragen:

1) Bei obigem f(x) ist $\varphi_1=f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)$ ein Einsetzungs-Homomorphismus?
2) Oder die Summe von 4 Einsetzungs-Homomorphismen?  (Ja)
3) Ist z.B. $\varphi_a=af(x_1)+bf(x_2)+cf(x_3)+df(x_4)$ mit verschiedenen a,b,c,d ein Einsetzungs-Homomorphismus?
4) Ist z.B. $\varphi_{a,b,c,d}=f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$ mit verschiedenen a,b,c,d ein Einsetzungs-Homomorphismus?
5) Ist das Wort Einsetzungs-Homomorphismus an ein bestimmtes f(x) gekoppelt?
6) Oder an ein bestimmtes b mit f(b)? (Ja)
7) Oder beides?

1 Nein
2 Ja
3 Nein
4 Nein
5 Nein
6 Ja
7 nein


Nochmal zur Verifizierung:
Richtig ist also nur

2) f(x) ist $\varphi_1=f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)$ die Summe von 4 Einsetzungs-Homomorphisme.

Falsch: 4) $\varphi_{a,b,c,d}=f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$ mit verschiedenen a,b,c,d ist ein Einsetzungs-Homomorphismus

Richtig:

6) das Wort Einsetzungs-Homomorphismus is an ein bestimmtes  b gebunden.

Es gibt also zu jedem b, dass man in ein Polynom $f(x)\in\mathbb Z[x]$ einsetzen darf ein festes $f(b)=\varphi_{b}, b \in\mathbb Z$ wobei f aber nur auf einer Variablen operieren kann?

Das widerspräche aber


Bei gegeben Zerfällungskörper L und Nullstellen \(x_1,\ldots,x_4\) erhält man einen surjektiven Einsetzungshomomorphismus.
\[\varphi:\IQ[X_1,\ldots,X_4]\to L\]

aus  Beitrag 24
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.102, eingetragen 2018-08-22


Ja, wirklich.


das Wort Einsetzungs-Homomorphismus is an ein bestimmtes  b gebunden.
Ich weiß nicht wirklich was du damit sagen willst.
Jeder Einsetzungshomomorphismus hat einen festen Wert, den man in die abzubildenden Polynome einsetzt.


 nur auf einer Variablen operieren kann?
Nein. Wo liest du denn das raus.
Beitrag#24 ist durchaus richtig.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.103, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-22

\(\begingroup\)
Sei
$f_1(x)\in\mathbb Z[x]=x^2+2$
$f_2(x)\in\mathbb Z[x]=3x$
$b=3 \in\mathbb Z$
$\Rightarrow f_1(3)=x^2+2=11$ oder $\varphi_1^3=11$
und
$\Rightarrow f_2(3)=3*3=9$ oder $\varphi_2^3=9$
sowie definiere ich zum Linearitätsbeweis:
$f_1+f_2 =f_3,f_3(3)=\varphi_{3}^3=\varphi_{1}^3+\varphi_{2}^3=3^2+2+3*3=20 $ oder
$\varphi_1^3+\varphi_2^3= 11+9=20$.


Die $\varphi_i^b$ sind hier 3 verschiedene Einsetzungs-Homomorphismen bez b. b beliebig.
Aber irgendwas ist daran falsch...oder...
Man muesste noch Addition und Multiplikation von Polynomen ist linear zeigen aber das ist klar weil Polynome einen Ring bilden.








\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.104, eingetragen 2018-08-22

\(\begingroup\)
Deine Notation ist etwas seltsam.
$\mathbb Z [x] \ni f(x)=x^2+2$ oder $f(x)=x^2+2 \in \mathbb Z [x]$

Und man schreibt i.d.R. $\varphi_3 (f)$ wenn man per Einsetzhom. 3 in das Polynom f einsetzen will. Der Einsetzhom. hat Polynome im Defintionsbereich, daher ist das Polynom f auch m Argument des Einsetzhom.

Den Begriff linear verwendet man nur im Kontext mit linearen Abbildungen.

\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.105, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-24

\(\begingroup\)
Also stimmt der linearitaetsbeweis nicht? wg. Einsetzungs-HOMOMORPHISM US fordert LINEARITÄT in plus und mal für $\varphi_i,\varphi_j,...$ also Polynome un deren Bild nach einem Körper.
$\varphi_i^b+\varphi_j^b=\varphi_{i+j}^b$
$\varphi_i^b*\varphi_j^b=\varphi_{i*j}^b$ oder nicht.

was ja vorraussetzt dass man die Indizes geschickt verteilt, nee,ne?

Sei nun ein $f_1$ Element aus dem Polynomring  $\IQ[X_1,\ldots,X_4]$ z.B. $f_1(x_1,x_3,x_3,x_4)=ax_1+bx_2+cx_3+dx_4$
$\varphi_1^e=f_1(e) = ae+be+ce+de \in \mathbb L=(a+b+c+d)e$, was an sich das Additionsgesetz für Ideale darstellt...und beweist.

Der casus knackus ist, dass
$\forall f_i, f_j \in\mathbb Q[X]$ gilt : $f_i(x)+f_j(x) =f_k(x)\wedge \forall f_i, f_j:f_i(x)*f_j(x) =f_l(x)$ denselben Rechenregeln genügt wie Elemente $i,j,k,l \in \mathbb Q$. Und das ist Offensichtlich, weil $\mathbb Q[X]$ ein Ring ist.



Ist die Notation richtig? ich mach lieber nur babysteps hier..
Thx







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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.106, eingetragen 2018-08-24


Welcher Beweis?
Du hast ein Beispiel gerechnet, mehr seh ich nicht.

Ob deine Notation richtig ist kann ich nicht beurteilen, weil ich nicht verstehe was du damit ausdrücken willst.

P.S: Ich gehöre zu denen, die all-caps als Schreien ansehen. Ich werd nicht gern angeschrieen.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.107, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-25

\(\begingroup\)
Nein, Pardon so wars nicht gemeint..
Mir ist eben nicht klar, wie man formal zeigt, dass die Einsetzung eines festen Wertes in mehrere f(x) eine lineare Abbildung eines Polynomringes in einen wie immer gearteten Zahlenring ist, obwohl das irgendwie offensichtlich ist.
Ich oder irgendwer hatte das f_i(b) als $\varphi_i^b$ als Einsetzungshomomorphismus bezeichnet. Es müssen also für diese $\forall b \in $ was eigentlich und $\varphi^b$ allgemein die Bedingungen eines Ringhomomorphismus gelten als da sind:
$\varphi_i^b+\varphi_j^b=f_i^b+f_j^b$ und $\varphi_i^b*\varphi_j^b=f_i^b*f_j^b = \varphi_{k}^b$ aber was ist das k?

Was irgendwie auch offensichtlich ist, weil es ja egal ist, ob ich erst einen Wert in mehrere f einsetze  und dann die Ergebnisse addiere oder multipliziere oder erst die Polynome, meinetwegen auch aus $\IQ[X_i]$ auf mehreren Variablen addiere oder multipliziere und dann b einsetze.

Die Frage ist wie die "reine Addition und Multiplikation" verschiedener Elemente f aus dem selben Polynomring aussieht.
Oder ist das auch offensichtlich? Dann braucht man gar nichts mehr zu beweisen.
Und dieses "egal-sein" schreibt man auch als $\alpha(\beta)=\gamma\Leftrightarrow \beta(\alpha)=\gamma$ oder nicht? und das ist gewisserermaßen die sog. Linearität von $\beta, \alpha$.
Was sind dann hier $\beta, \alpha, \gamma$? An sich brauchte man noch ein $\delta$ weil wir addieren und  multipliziere getrennt betrachten.

Eins ist das einsetzen, das andere addieren und multiplizieren.
Ich möchte bloß ganz klar haben: Was genau sagt uns der Einsetzungshomomorphismus warum ist es ein Ringhomorphismus und wie zeige ich das sauber?. Was ein Kern ist weiß ich die Element die auf das Nullelement des hier Bildringes abgebildet werden. Was ist der Kern von was bevor ich weitere Folgerungen schreibe.
Denn wie ich irgendwo sagte:

Der Kern der Ringabbildung aller rationalen Ausdrücke über den Nullstellen $x_{1,\ldots n}$ eines gewissen f(x) aus $\IQ[X_i]$ bilden die Galoisgruppe eines gewissen f(x). Oder ist das unbestritten?
Und ich hätte gern mal den Ideal-durchschittsbeweis vorgerechnet, bitte.

Danke


--
"Hier darf jeder machen was er will, natürlich im Rahmen der freiheitlich demokratischen Grundordnung versteht sich!"
Degenhardt
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.108, eingetragen 2018-08-25

\(\begingroup\)
Punkt 1: Du betrachtest hier keine Vektorraumstrukturen, also keine linearen Abbildungen. Man bezeichnet nur Vektorraumhomomorphismen als lineare Abbildungen. Alle anderen heißen Homomorphismen.
Punkt 2: Deine Notation find ich nach wie vor grausam, insbesondere $f_i^b$ wobei du ja eigentlich $f_i(b)$ meinst.

Wenn ein Beweis "offensichtlich" ist, ist er einfach hinzuschreiben.
Wenn er nicht einfach hinzuschreiben ist, ist er zumindest für den Schreibenden nicht offensichtlich.

Und dieses "egal-sein" [...]
Ich verstehe hier nicht was das sein soll, da ich weder sehe was alpha, beta, yamma sein sollen noch wie alpha und beta jeweils sowohl Abbildungen als auch Argumente von Abbildungen sein sollen noch was das Ganze mit Linearität zu tun hat.
Was meinst du bedeutet in der Mathematik eigentlich das Wort "linear"?



Schreib doch erstmal hin was genau zu zeigen ist.
D.h. die Defintion von Ringhomomorphismus und setze die hier konkret verwendeten Abbildungen ein.

Sowas ist eine sehr gute Beweisübung. Wenn du sowas beherrscht, dann kannst du dich an schwierigere achen ranwagen.



Der Kern der Ringabbildung Abbildung aller rationalen Ausdrücke über den Nullstellen x1,…n eines gewissen f(x) aus Q[Xi] bilden die Galoisgruppe eines gewissen f(x).
Nein tut es nicht.


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.109, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-25

\(\begingroup\)
Im Grunde sagen 2 Einträge aus Wiki alles:

Ringhomomorphismus:

$\displaystyle \varphi (a+b)=\varphi (a)\oplus \varphi (b)$ und
$\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\otimes \varphi (b). \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)$.

Die $\oplus,\otimes$ sind ja bei den hier betrachteten Ringen die normale $+,\cdot$.
die $+,\cdot$ auf der linken Seiten sind im Einsetzungshomomorphismus Polynomaddtionen.

Einsetzungshomomorphismus:

"..die eindeutige Fortsetzung eines Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen mit Eins zu einem Homomorphismus",

Zu jedem $\displaystyle b\in B$ lässt sich nun eine Abbildung $\displaystyle \varphi _{b}\colon A[X]\to B$ definieren, welche ein Polynom $\displaystyle f=\sum _{i\geq 0}a_{i}X^{i}$ abbildet auf  $\displaystyle \varphi _{b}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i})b^{i}$.
Man bezeichnet den so definierten Homomorphismus auch als Einsetzungshomomorphismus.
In der ersten Def werden ja schon 4 Verknüfungen $+,\cdot,\oplus,\otimes$ benutzt, was mir ja auch Sinn macht.
Also $\displaystyle f=\sum _{i\geq 0}a_{i}X^{i}\mapsto\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i})b^{i}$. Es wird ein Polynom f auf einen Wert abgebildet.

Ich hatte immer $\varphi^b$ geschrieben, das war falsch. Richtig: $\varphi_b(f)$.
Man setzt also für X im Polynom f ein festes b ein.

zu zeigen: die Homomorphie des $\displaystyle \varphi_{b}(f)$:

Sei $\displaystyle
f_1=\sum _{i\geq 0}a_{i}X^{i}\mapsto\sum _{i\geq 0}\varphi(a_{i})b^{i}$
und $\displaystyle
f_2=\sum _{j\geq 0}c_{j}X^{j}\mapsto\sum _{j\geq 0}\varphi(c_{j})b^{j}$.

$\displaystyle \varphi_b(f1+f_2)=\varphi_b(f_1)\oplus\varphi_b(f_2)$ kann ich daraus nicht formal folgern..
sry
J

Ist es nicht eher eien Einschränkung als eien Fortsetzung?
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.110, eingetragen 2018-08-25

\(\begingroup\)
Was du jetzt noch machen musst ist einsetzen:
Wie sehen $\varphi_b (f_1), \varphi_b (f_2), \varphi_b (f_1+f_2)$ hier konkret aus?
\(\endgroup\)


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juergen007
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\(\begingroup\)
2018-08-25 11:18 - juergen007 in Beitrag No. 109 schreibt:
Man setzt also für X im Polynom f ein festes b ein.
Zu zeigen: die Homomorphie des $\displaystyle \varphi_{b}(f)$:

Sei $\displaystyle f_1=\sum _{i\geq 0}a_{i}X^{i}\mapsto\sum _{i\geq 0}\varphi(a_{i})b^{i}$
und $\displaystyle f_2=\sum _{j\geq 0}c_{j}X^{j}\mapsto\sum _{j\geq 0}\varphi(c_{j})b^{j}$.

2018-08-25 11:36 - qwertzusername in Beitrag No. 110 schreibt:

Was du jetzt noch machen musst ist einsetzen:
Wie sehen $\varphi_b (f_1), \varphi_b (f_2), \varphi_b (f_1+f_2)$ hier konkret aus?


$\displaystyle \varphi_b (f_1)= f_1(b)$.
$\displaystyle \varphi_b (f_2)= f_2(b)$.

$\displaystyle
\varphi_b(f_1+f_2)=
\sum _{i>0,j>0} \varphi(a_{i})b^i+\varphi(c_{j})b^{j}=
\sum _{i>0} \varphi(a_{i})b^i+\sum _{j>0}\varphi(c_{j})b^{j}=
f_1(b)+f_2(b)$.
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qwertzusername
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\(\begingroup\)

$\displaystyle
\varphi_b(f_1+f_2)=
\sum _{i>0,j>0} \varphi(a_{i})b^i+\varphi(c_{j})b^{j}=
\sum _{i>0} \varphi(a_{i})b^i+\sum _{j>0}\varphi(c_{j})b^{j}=
f_1(b)+f_2(b)$.

eine kleine Korrektur:
$\varphi_b(f_1+f_2)=
\sum _{i\geq 0} \varphi(a_{i}+c_i)b^i =
\sum _{i\geq 0} \varphi(a_{i})b^i+\sum _{j \geq 0}\varphi(c_{j})b^{j}=
f_1(b)+f_2(b)$

wobei $f_1=\sum_{i\geq 0} a_i x^i$ und $f_2=\sum_{i\geq 0} c_i x^i$ und $f_1+f_2=\sum_{i\geq 0} (a_i+c_i) x^i$ (nach der Def. der Addition von Polynomen).

Und damit hast du die erste Eigenschaft eines Ringhom. gezeigt.
Selbes Spielvhen noch bzgl. der Multiplikation.  
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\(\begingroup\)
ja mach ich das ist was aufwendiger da $(a+b+c)(d+e+f)$ schon 9-stellig wird
(a+b)(d+e) 4stellig und die Potenzen "höher" laufen aber das geht schon...

Zu dem Schnitt der Ideale könnte man so angehen $\mathfrak(i)\cap\mathfrak(j)$ besteht aus allen $tk, tk=ri+sj$, wobei gesucht k fest und $\displaystyle t \in R$... oder so.
Und in beiden Richtungen Teilmengenbedingung checken..wobei $tk \subseteq\mathfrak(i)\cap\mathfrak(j)$ relativ leicht ach mal sehen..ist aber ich kann heute zeitlich nicht mehr thx:)
J


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qwertzusername
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Wie kommst du hier auf Stelligkeit?
Da hast hier gar keine (Dezimal-)Zahlen.

Zum "Idealschneitt":
Ich weiß nicht worauf du da raus willst, ch hab keine Ahnung was i, j u.ä sein sollen oder was der Ring.
Kontext ist wichtig.
Es hat schon seien Sinn, dass ser viele mathematische Aussagen beginnen mit "Seien ...", denn das erklärt was die ganzen Buchstaben sein sollen.



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\(\begingroup\)
meinetwegen $\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^2+(bc+ad)x +bd$ 3 Summanden hat.
später
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juergen007
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Ich beende den Thread und splitte den in 2
1- Idealbeweise LinkBeweis der Idealgesetze
3- Ringhomomorphismen LinkRinghomomorphismen

Thx erstmal das war sehr hilfreich insgesamt smile
Jürgen





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