Die Mathe-Redaktion - 19.06.2018 10:51 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Juli
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 593 Gäste und 20 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Mathematik » Analysis » Hilfssatz Fourier-Reihen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Hilfssatz Fourier-Reihen
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 192
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-06

\(\begingroup\)
Hallo zusammen!

Es gibt im Lehrbuch einen Hilfssatz, der auf einen größeren Satz vorbereitet. Der Hilfssatz lautet wie folgt:

Sei $f: \IR \to \IR$ eine periodische Funktion, sodass $f| [0, 2\pi]$ eine Treppenfunktion ist. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von f im quadratischen Mittel gegen f

Frage 1: Was bedeutet es, dass $f: \IR \to \IR$ eine periodische Funktion ist, sodass $f| [0, 2\pi]$ eine Treppenfunktion ist? f ist eine Treppenfunktion im Intervall <math> [0,2\pi] </math>, und dieselbe Treppenfunktion ist periodisch wiederkehrend?

Beweis:

a) Man behandle zunächst den Spezialfall, dass für f gilt:

$f(x) = \begin{cases}
1 & \text{für } 0 \le x < a \\
0 & \text{für } a  \le x < 2\pi
\end{cases}$,

wobei a ein Punkt im Intervall <math> [0,2\pi]</math> ist. Die Fourier-Koeffizienten $c_{k}$ dieser Funktion lauten:

$c_{0} = \frac{a}{2\pi}$

$c_{k} = \frac{1}{2\pi} \int \limits_{0}^{a}e^{-ikx}dx = \frac{i}{2\pi k} \left(e^{-ika} - 1\right)$ für $k \not= 0$

Für $k \not= 0$ gilt:

$|c_{k}|^{2} = ... = \frac{1 - \cos ka}{2\pi^{2}k^{2}}$

also

$\sum \limits_{k=-\infty}^{\infty}|c_{k}|^{2} = ... = \frac{a}{2\pi}$

Insgesamt gilt $\sum \limits_{k=-\infty}^{\infty} |c_{k}|^{2} = \parallel f \parallel_{2}^{2}$, weshalb die Fourier-Reihe im quadratischen Mittel konvergiert.


b) Ist $f| [0, 2\pi]$ eine beliebige Treppenfunktion, so gibt es Funktionen $f_{1}, ..., f_{r}$ der in a) beschriebenen Gestalt und Konstanten $\gamma_{1}, ..., \gamma_{r}$, so dass

f(x) = $\sum \limits_{j=1}^{r} \gamma_{j}f_{j}(x)$

für alle $x \in \IR$ mit evtl. Ausnahme der Sprungstellen. Für die n-ten Partialsummen $F_{n}[f]$ bzw. $F_{n}[f_{j}]$ von f und $f_{j}$ gilt:

$F_{n}[f] = \sum \limits_{j=1}^{r} \gamma_{j}F_{n}[f_{j}]$

... q.e.d.

Frage 2: Wieso gilt $F_{n}[f] = \sum \limits_{j=1}^{r} \gamma_{j}F_{n}[f_{j}]$ ?
Die Definition der n-ten Partialsumme lautet ja $F_{n}[f](x) := \sum \limits_{k=-n}^{n} c_{k}e^{ikx}$ mit den Fourier-Koeffizienten $c_{k}$



Ich wäre euch wie immer sehr dankbar für jede Hilfe!


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ReimerBruechmann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.06.2017
Mitteilungen: 57
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-07

\(\begingroup\)
Hallo X3nion,

ich schätze mal, dass Du die Summen

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi}{2}x+\frac{x^2}{4},\;\;\; 0\le x\le 2\pi$$

und

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

zur Berechnung der Summe über die $\vert c_k\vert^2$ verwendet hast.

Die Aussage, dass $f\vert [0,2\pi]$ eine Treppenfunktion ist, kann ich nur so interpretieren, dass auch f eine Treppenfunktion ist.

Die Treppenfunktion $f\vert [0,2\pi]$ besteht nun aus einzelnen Rechtecken $f=\sum_k \gamma_k f_k$ mit

$$  f_k(x)\vert [0,2\pi] =
\begin{cases}
0,    & \text{if} &   0\le x\lt a_k \\
1,    & \text{if} & a_k\le x\lt a_{k+1} \\
0,    & \text{if} & a_{k+1}\le x\le 2\pi.
\end{cases}$$

Man bildet jetzt die Fourierreihe für jedes $f_k$ und addiert diese Fourierreihen. Das bedeutet $F_{n}[f] = \sum \limits_{j=1}^{r} \gamma_{j}F_{n}[f_{j}]$.

Gruss Reimer

\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 192
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-07

\(\begingroup\)
Hallo Reimer,

ich danke dir für deine ausführlichen Erläuterungen!

Ja genau die Identitäten wurden benutzt. Ich hatte das punktiert damit der Beitrag nicht allzulang wird, die Schritte habe ich nämlich verstanden.

Eine Kleinigkeit noch, du hast die Funktionen $f_{k}(x)$ so definiert:

2018-03-07 15:35 - ReimerBruechmann in Beitrag No. 1 schreibt:

$$  f_k(x)\vert [0,2\pi] =
\begin{cases}
0,    & \text{if} &   0\le x\lt a_k \\
1,    & \text{if} & a_k\le x\lt a_{k+1} \\
0,    & \text{if} & a_{k+1}\le x\le 2\pi.
\end{cases}$$

Man bildet jetzt die Fourierreihe für jedes $f_k$ und addiert diese Fourierreihen. Das bedeutet $F_{n}[f] = \sum \limits_{j=1}^{r} \gamma_{j}F_{n}[f_{j}]$.

Gruss Reimer



In Teil a) ist eine Funktion f(x) aber definiert als $f(x) = \begin{cases}
1 & \text{für } 0 \le x < a \\
0 & \text{für } a  \le x < 2\pi
\end{cases}$.

Sei nun zB a = 1/2.
Kann man mit deiner Variante ein "Rechteck definieren" mit <math> f(x) = 1</math> für $0 \le x < 1/2$?
Ich meine es so, wenn $f_{k}(x) := 0$ für $0 \le x < a_{k}$, so gibt es ja immer eine kleine Lücke zwischen $a_{k}$ und 0, oder sehe ich da etwas falsch?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ReimerBruechmann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.06.2017
Mitteilungen: 57
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
Hallo X3nion,

wir müssen einfach die Definition einer Treppenfunktion nehmen. Diese ist stückweise konstant und kann an den Sprungstellen beliebig definiert werden. Die Funktion $f\vert [0,2\pi]=\sum_k \gamma_k f_k$ wird aus den einzelnen Rechtecken

$$  f_k(x)\vert [0,2\pi] =
\begin{cases}
0,    & \text{if} &   0\le x\lt a_k \\
1,    & \text{if} & a_k\le x\lt a_{k+1} \\
0,    & \text{if} & a_{k+1}\le x\le 2\pi.
\end{cases}$$

mit $0=x_0\lt x_1\lt\dots\lt x_n=2\pi$ zusammengesetzt. Im ersten Teil wurde ein Rechteck

$$  f(x)\vert [0,2\pi] =
\begin{cases}
1,    & \text{if} &   0\le x\lt a \\
0,    & \text{if} &   a\le x\lt 2\pi.
\end{cases}$$

diskutiert und dann sollten diese Ergebnisse auf die Rechtecke der obigen Treppenfunktion übertragen werden. Das scheint doch die Vorgehensweise des Hilfssatzes zu sein.

Die Lücken, die Du siehst, sehe ich nicht. Lediglich an der Sprungstelle kann die Funktion entsprechend Deiner Fragestellung beliebig definiert werden. Die Fourierreihe wird sowieso nicht geändert, wenn man die Funktion an einer endlichen Anzahl von Stellen willkürlich ändert, da diese Stellen eine Nullmenge bilden und in die Integration nicht eingehen.

Deine Funktion mit $a=\frac{1}{2}$ sieht doch so aus, dass wir $\gamma_0=1$ und $\gamma_1=0$ wählen sowie $a_0=0$, $a_1=\frac{1}{2}$ und $a_2=2\pi$. Dann haben wir $f\vert [0,2\pi]=\sum_{k=0}^1 \gamma_k f_k$ mit eventueller Ausnahme der Sprungstellen.

Gruss Reimer
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 192
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
Hallo Reimer,

nochmals vielen Dank für deine Antwort.

Mich verwirrt etwas, dass du einmal von $x_{k}$ und von $a_{k}$ schreibst.

Wenn $f_{k}(x)|[0,2\pi] = 0$, if $0 \le x < a_{k}$

und $f_{k}(x)|[0,2\pi] = 1$, if $a_{k} \le x < a_{k+1}$,

wie muss man dann die $a_{k}$ wählen, um eine Konstante zu bekommen, welche im Intervall <math>]0, \frac{1}{2}[</math> den Wert "1" annimmt?
Wie beliebig nahe bei 0 ich $a_{0}$ auch wähle, es gibt immer einen kleinen Abschnitt <math>[0, a_{0}[</math>, sodass die Funktion $f_{k}$per Definition den Wert "0" annimmt, verstehst du was ich meine?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ReimerBruechmann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.06.2017
Mitteilungen: 57
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-09

\(\begingroup\)
Hallo X3nion,

die x habe ich gegen die a ausgetauscht.

Wenn wir  $a_0=0$, $a_1=\frac{1}{2}$ und $a_2=2\pi$ definieren, dann haben wir für die Funktion $f_0$ doch

$$  f_0(x)\vert [0,2\pi] =
\begin{cases}
0,    & \text{falls} &   0\le x\lt 0 \\
1,    & \text{falls} &   0\le x\lt 1/2 \\
0,    & \text{falls} &   1/2\le x\le 2\pi.
\end{cases}$$

Dafür können wir aber auch

$$  f_0(x)\vert [0,2\pi] =
\begin{cases}
1,    & \text{falls} &   0\le x\lt 1/2 \\
0,    & \text{falls} &   1/2\le x\le 2\pi
\end{cases}$$

schreiben, da der Fall $0\le x\lt 0$ der ersten Zeile der Definition nicht auftritt.

Die Fourierreihe einer Treppenfunktion konvergiert übrigens immer gegen den Wert $\frac{f(x-)+f(x+)}{2}$. Damit kannst Du die Funktion f an den Sprungstellen definieren wie Du willst und Du erhältst immer die gleiche Fourierreihe.

Gruß Reimer
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 192
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-10

\(\begingroup\)
Hallo Reimer,

ich danke dir für deine Erläuterungen!

Inzwischen ist mir noch ein anderer Ansatz eingefallen, wieso sich eine Treppenfunktion in der Gestalt $\sum \limits_{j=1}^{r} \gamma_{j}f_{j}$ mit Funktionen $f_{1}, ..., f_{r}$ der Gestalt

$f(x) = \begin{cases}
1 & \text{für } 0 \le x < a \\
0 & \text{für } a  \le x < 2\pi
\end{cases}$,

und Konstanten $\gamma_{1}, ..., \gamma_{r}$ schreiben lässt.

Seien r Teilpunkte $a_{1}, ..., a_{r}$ mit $0 < a_{1} < ... < a_{r} < 2\pi$ gegeben.

Für die Treppenfunktion gilt folgendes lineares Gleichungssystem:

$\gamma_{1}f_{1}(x) + \gamma_{1}(x) ... + \gamma_{r}f_{r}(x) = y_{1}(x), 0 \le x < a_{1}.$

<math> 0 + \gamma_{2}f_{2}(x) + \gamma_{r}f_{r}(x) = y_{1}(x), a_{1} \le x < a_{2}. </math>

...

$0 + 0 + ... + \gamma_{r}f_{r}(x) = y_{r}(x), a_{r-1} \le x < a_{r}$

wobei $y_{1}, ..., y_{r}$ die y-Werte der Treppenfunktion in den besagten Intervallen sind.

Folglich ist das lineare Gleichungssystem eindeutig bestimmt und jede Treppenfunktion lässt sich in der Darstellung schreiben.

Wäre das auch eine Möglichkeit der Begründung?



Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ReimerBruechmann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.06.2017
Mitteilungen: 57
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-11

\(\begingroup\)
Hallo X3nion,

im Grunde genommen sprichst Du hier die Definition von Funktionen an, es ist also eine funktionentheoretische Frage. Neben der üblichen Definition der Funktion

$$\tag{1}  f(x) =
\begin{cases}
\gamma_{s0},    & \text{für} &   x=a_0 \\
\gamma_0,    & \text{für} &   a_0\lt x\lt a_1 \\
\gamma_{s1},    & \text{für} &   x=a_1 \\
\gamma_1,    & \text{für} &   a_1\lt x\lt a_2 \\
\dots \\
\gamma_n,    & \text{für} &   a_n\lt x\lt a_{n+1} \\
\gamma_{s,n+1},    & \text{für} &   x=a_{n+1} \\
\end{cases}$$

soll doch einfach diese Funktion in Teilfunktionen zu

$$f(x)=\sum_{k=0}^n \gamma_k f_k(x)$$

dargestellt werden, wobei dann in unserem Fall $\gamma_{s,k}=\gamma_k$ gilt (oder gelten kann). Das ist eine einfache Superpositionsaufgabe, die man auch direkt lösen kann.

Willst Du nun  prüfen, ob die $f(x)=\sum_{k=0}^n \gamma_k f_k(x)$ gegeben ist, so solltest Du einfach die Funktion $f(x)$ wie in $(1)$ oben aufschreiben und prüfen, ob an den gegebenen Sprungstellen und den einzelen Intervallen die Gleichheit besteht.

Gruß Reimer
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 192
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-11


Hallo Reimer,

nochmals vielen Dank dir für deine ausführliche Antwort!
Mir ist nun einiges klarer geworden.


Viele Grüße,
X3nion



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]