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Strukturen und Algebra » Polynome » Notwendigkeit der Kettenregel
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Universität/Hochschule J Notwendigkeit der Kettenregel
Erratis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-08

\(\begingroup\)
Guten Tag.

Ich befasse mich momentan mit Polynomringen über einem Körper und Erzeugern von Sachen in diesen. Dabei bin ich doch nun über ein Problem gestolpert, bei dem ich ein tierisches Brett vor dem Kopf habe.

Ich habe 2 Mengen von algebraisch unabhängigen Erzeugern für die gleiche Unteralgebra U. Das Problem ist aber nun:
Ich habe \(g_1,\dots,g_n\) und \(f_1,\dots,f_n\) als meine Mengen an algebraisch unabhängigen Erzeugern.
Im ersten Beweisschritt sagt er, dass man natürlich jedes \(f\) als eine Linearkombination der \(g_i\) schreiben kann. Das ist klar und ich erhalte:
\(f_i= r_{i1} g_1+\dots +r_{in} g_n\) mit Elementen \(r\) aus meiner Algebra für jedes \(f_i\).
Für die g´s gilt natürlich dasselbe.
Nun setzt er die Darstellungen der \(f_i\) in die Darstellung eines festen f ein (z.B. \(f_1\)) und leitet es partiell nach einem beliebigen \(f_i\) ab.

Er sagt, dass man hierfür die Kettenregel braucht, aber ich habe doch nur eine Linearkombination von Polynomen, die miteinander multipliziert werden, stehen. Warum brauche ich also die Kettenregel?

Wenns zu undurchsichtig aufgeschrieben ist, dann gehe ich gerne noch näher ins Detail.

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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
Hi,

2018-03-08 15:39 - Erratis im Themenstart schreibt:
Nun setzt er die Darstellungen der \(f_i\) in die Darstellung eines festen f ein (z.B. \(f_1\))

das verstehe ich nicht ganz. Muss vielleicht eins von diesen f's ein g sein?

2018-03-08 15:39 - Erratis im Themenstart schreibt:
und leitet es partiell nach einem beliebigen \(f_i\) ab.

Ist dir denn klar, was das heißt? Ok, man kann für Polynome eine formale Ableitung definieren, aber $f_i$ ist ja erstmal eine Konstante und nicht eine Unbestimmte eines Polynomrings. Wahrscheinlich wird in einer bestimmten Darstellung $f_i$ durch $X_i$ ersetzt und das dadurch entstehende Polynom abgeleitet. Aber das müsste ich mir an deiner Stelle erstmal im Detail aufschreiben, bevor ich mir über die Kettenregel Gedanken mache.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich mich auf dem Gebiet besser auskenne als du. Also, wenn das für dich Trivialitäten sind, kann ich dir möglicherweise gar nicht weiterhelfen und du musst du sie nicht nur wegen mir detaillierter formulieren.
\(\endgroup\)


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Erratis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-09

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Hallo darkhelmet,
vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube, dass mein Problem wirklich so elemtar ist, als dass ich die partielle Ableitung die hier passiert nicht begreife. Ich mache mal ein einfaches Beispiel für n=3, um alles anschaulicher zu machen:
\(f_1= r_{11}g_1 + r_{12}g_2 + r_{13}g_3\)
\(f_2= r_{21}g_1 + r_{22}g_2 + r_{23}g_3\)
\(f_3= r_{31}g_1 + r_{32}g_2 + r_{33}g_3\)
und analog:
\(g_1= s_{11}f_1 + s_{12}f_2 + s_{13}f_3\)
\(g_2= s_{21}f_1 + s_{22}f_2 + s_{23}f_3\)
\(g_3= s_{31}f_1 + s_{32}f_2 + s_{33}f_3\)
Wenn ich mir nun zum Beispiel \(f_1\) nehme, dann kann ich die \(g_i\) einsetzen und erhalte:
\(f_1=r_{11}(s_{11}f_1 + s_{12}f_2 + s_{13}f_3)+r_{12}(s_{21}f_1 + s_{22}f_2 + s_{23}f_3)+r_{13}(s_{31}f_1 + s_{32}f_2 + s_{33}f_3)\)

Hier sehe ich Summen und Produkte, aber keine Verknüpfungen, die die Kettenregel rechtfertigen würden.
Außerdem sind es doch noch immer Funktionen, in die ich Werte für die \(X_i\) einsetzen kann, da ich nichts verknüpft habe?
Vielleicht verstehe ich das Einsetzen der Sachen einfach falsch oder hab ein riesiges Brett vor meinem Kopf.


 
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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-09

\(\begingroup\)
Und ich verstehe nach wie vor nicht, in welchem Sinn hier abgeleitet werden soll.

2018-03-08 15:39 - Erratis im Themenstart schreibt:
Im ersten Beweisschritt sagt er, dass man natürlich jedes \(f\) als eine Linearkombination der \(g_i\) schreiben kann. Das ist klar und ich erhalte:
\(f_i= r_{i1} g_1+\dots +r_{in} g_n\) mit Elementen \(r\) aus meiner Algebra für jedes \(f_i\).

Kommt das von dir oder aus dem Text? Von welcher Algebra sollen die $r_{ij}$ Elemente sein? Das hatte ich gestern überlesen und dachte, die $r_{ij}$ sollen Skalare sein. Aber das stimmt auch nicht überein mit meiner Definition von "Unteralgebra". Demnach müsste z.B. $f_1$ ein Polynom (nicht eine Linearkombination) in $g_1,g_2,g_3$ sein.
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Erratis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-09

\(\begingroup\)
Der Begriff Linearkombination war von mir falsch benutzt, da die \(r_i\) keine Skalare sind. Es sind Elemente , die durch die \(f_i\) erzeugt werden.

Es geht um den Polynomring \(\mathbb{R}[X_1,\dots,X_n]\).
Es wird eine bestimmte Operation auf diesem definiert und danach die Unteralgebra der Invarianten unter dieser untersucht (welche Operation ist ja erst einmal egal).
Man stellt nun fest, dass diese (als Algebra!) endlich erzeugt ist und zwar von n algebraisch unabhängigen Polynomen.
Das bedeutet für mich, dass ich für jedes Element aus dieser Unteralgebra eine Darstellung durch die Erzeuger erhalte. Wenn wir die Unteralgebra \(U\) und die Erzeuger wieder \(f_1,\dots,f_n\) nennen, erhalten wir also für jedes \(u\in U\) eine Darstellung:
\(u=s_1 f_1+\dots + s_n f_n\) mit \(s_i \in U\), da die \(f_i\) \(U\) als Algebra erzeugen.
Genau deshalb finden wir ja auch eine Darstellung von anderen möglichen Erzeugern.
Ist bis hierhin alles klar?

Man hat also die 2 verschiedenen Mengen von Erzeugern \(f_1,\dots,f_n\)und \(g_1,\dots,g_n\), die \(U\) als Algebra erzeugen.  
Ich kann dir einmal den exakten Wortlaut, für das was folgt, geben:

"Each set of polynomials can be written as polynomials in the other set."

Das bedeutet einfach wieder, dass wir eins der \(f_i\) durch die \(g_i\) darstellen können, wie oben beschrieben.

"For each pair of indices (i,j), we can use the chain rule to evaluate the partial derivative \(\frac{\partial f_i}{\partial f_i} = \sum_{k=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial g_k} \frac{\partial g_k}{\partial f_j}\)"
und das soll gleich dem Kroneckerdelta ij sein.

Ich lese hier nur raus, dass man die einzelnen \(g_i\) in der Darstellng eines festen \(f_i\) durch die jeweilige Darstellung des einzelnen \(g_i\) durch die \(f_i\) ersetzt und daher nach einem \(f_j\) ableiten kann.
Ich sehe keine Verkettung.

Liest du da etwas raus, das mehr Sinn ergibt?


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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-09

\(\begingroup\)
Ok, jetzt wird es schon klarer.

2018-03-09 11:37 - Erratis in Beitrag No. 4 schreibt:
Das bedeutet für mich, dass ich für jedes Element aus dieser Unteralgebra eine Darstellung durch die Erzeuger erhalte.

Ja, aber ich denke, es müsste eine andere Art von Darstellung sein, nämlich: für jedes $u\in U$ gibt es $p_u\in\mathbb{R}[X_1,\ldots,X_n]$ (weil $n$ die Anzahl der Erzeuger ist; dass unser ursprünglicher Polynomring auch $n$ Unbestimmte hat, ist wohl ein Zufall (?)), so dass $u=p_u(f_1,\ldots,f_n)$. Ebenso gibt es $q_u\in\mathbb{R}[X_1,\ldots,X_n]$, so dass $u=q_u(g_1,\ldots,g_n)$.

Mit dieser Terminologie folgt dann für $1\leq i\leq n$
$$f_i=q_{f_i}(g_1,\ldots,g_n)=q_{f_i}\Big(\hspace{1ex}p_{g_1}(f_1,\ldots,f_n)\hspace{1ex},\hspace{1ex}\ldots\hspace{1ex},\hspace{1ex}p_{g_n}(f_1,\ldots,f_n)\hspace{1ex}\Big).$$
Es gilt also $f_i=A(f_1,\ldots,f_n)$, wobei $A$ das Polynom ist, das man kriegt, wenn man die $p_{g_1},\ldots,p_{g_n}$ in $q_{f_i}$ einsetzt. Gleichzeitig gilt aber trivialerweise $f_i=B(f_1,\ldots,f_n)$ mit $B=X_i$. Vermutlich folgt dann aus der algebraischen Unabhängigkeit $A=B$. Diese beiden Polynome werden dann partiell abgeleitet und bei $A$ braucht man dafür die Kettenregel.
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Erratis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-09

\(\begingroup\)
Das ist eine sehr interessante Erkenntnis.
Ich war so darauf fixiert die Darstellung eines Elementes nach den \(f_i\) aufzuschreiben, dass ich glatt vergessen habe was das Erzeugt-Werden bedeutet.
Wenn ich ein Element \(u= 3f_1^3f_3^2+ 5f_2f_3^4\) habe, dann kann ich natürlich auch \( u=s_1 f_1 + s_2 f_2\) schreiben mit \(s_1:=3f_1^2f_3^2\) und \(s_2:= 5f_3^4\).
Die benötigten Polynome aus dem Ring dafür sind offensichtlich.
Hab ich deine Erklärung richtig verstanden?
Wenn ja, dann trifft das wohl genau den Kern meines Verständismangels.
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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-09


Nein es geht nicht um Linearkombinationen, sondern um Polynome, wie von Darkhelmet schon beschrieben. Beitrag No.5 beantwortet im Prinzip die Ausgangsfrage.



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Erratis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-09

\(\begingroup\)
Hallo Triceratops,
auch danke für deine Antwort.
Bei der weiteren Nachfrage wäre \(u=g(f_1,\dots , f_n)\), wobei \(g(X_1,\dots , X_n)=  3X_1^2 X_3^2 + 5X_2 X_3^4\). Ich wollte nur fragen, ob diese Sichtweise richtig ist.
Bei einer Algebra habe ich immer im Hinterkopf, dass es ein Vektorraum ist. Aber es gibt ja noch die zusätzliche Multiplikation innerhalb einer Algebra.

Hab ich es richtig verstanden, wenn ich sage:
Eine Basis von \(K[X_1,\dots,X_n]\) als \(K\)-Vektorraum bilden die Monome \({X_1^{k_1}\dots X_n^{k_n}\quad \text{mit} \: k_i\in \mathbb{N}}\) zusammen mit der 1, aber als \(K\)-Algebra erzeugt wird es von der Menge \({X_1,\dots,X_n}\) und der 1.

Beim ersten hätte ich meine Linearkombinationen, beim zweiten meine Polynome. Ansonsten verstehe ich wohl nicht was du bei mir als Linearkombination und nicht als Polynom ansiehst.
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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-03-09

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2018-03-09 14:22 - Erratis in Beitrag No. 8 schreibt:
Bei der weiteren Nachfrage wäre \(u=g(f_1,\dots , f_n)\), wobei \(g(X_1,\dots , X_n)=  3X_1^2 X_3^2 + 5X_2 X_3^4\). Ich wollte nur fragen, ob diese Sichtweise richtig ist.

Das ist schon richtig (außer dass es $X_1^3$ heißen muss).

2018-03-09 12:41 - Erratis in Beitrag No. 6 schreibt:
Wenn ich ein Element \(u= 3f_1^3f_3^2+ 5f_2f_3^4\) habe, dann kann ich natürlich auch \( u=s_1 f_1 + s_2 f_2\) schreiben mit \(s_1:=3f_1^2f_3^2\) und \(s_2:= 5f_3^4\).

Das kann man machen, aber wenn du glaubst, dass es relevant ist, hast du vermutlich was noch nicht verstanden.

2018-03-09 14:22 - Erratis in Beitrag No. 8 schreibt:
Eine Basis von \(K[X_1,\dots,X_n]\) als \(K\)-Vektorraum bilden die Monome \({X_1^{k_1}\dots X_n^{k_n}\quad \text{mit} \: k_i\in \mathbb{N}}\) zusammen mit der 1

Ok. (Die 1 ist das Monom mit $k_1=\ldots=k_n=0$.)

2018-03-09 14:22 - Erratis in Beitrag No. 8 schreibt:
aber als \(K\)-Algebra erzeugt wird es von der Menge \({X_1,\dots,X_n}\) und der 1.

Nein. Das ist zwar formal richtig, aber falsch gemeint. Denn $K[X_1,\ldots,X_n]$ wird als $K$-Algebra bereits erzeugt von der Menge $\{X_1,\ldots,X_n\}$. Jede $K$-Unteralgebra enthält per Definition die $1$. Was du schreibst, ist analog zu "Der $\mathbb{R}^3$ wird als $\mathbb{R}$-Vektorraum erzeugt von $e_1,e_2,e_3$ und der $0$.".
\(\endgroup\)


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Erratis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-09

\(\begingroup\)
Ich musste leider arbeiten, deshalb erst die späte Antwort  smile


2018-03-09 15:33 - darkhelmet in Beitrag No. 9 schreibt:
2018-03-09 12:41 - Erratis in Beitrag No. 6 schreibt:
Wenn ich ein Element \(u= 3f_1^3f_3^2+ 5f_2f_3^4\) habe, dann kann ich natürlich auch \( u=s_1 f_1 + s_2 f_2\) schreiben mit \(s_1:=3f_1^2f_3^2\) und \(s_2:= 5f_3^4\).

Das kann man machen, aber wenn du glaubst, dass es relevant ist, hast du vermutlich was noch nicht verstanden.

In einem früheren Beweis wird gezeigt, dass die Elemente, die ein bestimmtes Ideal erzeugen, schon die Unteralgebra als \(K\)-Algebra erzeugen. Und hierfür wollte der Autor zeigen, dass es für jedes \(f\) aus der Unteralgebra (nennen wir sie wieder \(U\)) eine Darstellung durch die Erzeuger dieses Ideals (wieder simplerweise die \(f_i\)) gibt.
Und die schrieb er als
\(f=s_1f_1+\dots+s_rf_r \quad \text{mit}\quad s_i\in U\).


Deshalb war ich auch anfangs so auf meine Idee einer Darstellung durch die \(f_i\) fixiert, anstatt an die Polynome zu denken. Seine Schreibweise ist natürlich super um sofort zu sehen, dass f in dem Ideal liegt das von den \(f_i\) erzeugt wird.

Diese Darstellung muss also mit der Polynomschreibweise in Verbindung gebracht werden und dies schien mir die einzig logische Weise zu sein. Oder lieg ich da falsch?
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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-03-10


2018-03-09 23:10 - Erratis in Beitrag No. 10 schreibt:
Diese Darstellung muss also mit der Polynomschreibweise in Verbindung gebracht werden und dies schien mir die einzig logische Weise zu sein. Oder lieg ich da falsch?

Das kann ich nicht beurteilen. Deine Skizze des früheren Beweises ist dafür zu grob.

Du brauchst aber eigentlich keine solchen indirekten Überlegungen anstellen, noch musst du uns einfach glauben, dass polynomielle Ausdrücke für Unteralgebren die gleiche Rolle haben wie Linearkombinationen bei Untervektorräumen, sondern du kannst es dir leicht selbst beweisen oder es in irgendeinem Algebrabuch nachlesen, in dem es um Algebren geht.



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Erratis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-10


Glauben brauche ich denke ich nicht mehr. Das mit der Darstellung durch die Polynome bei der Algebra hat mir die Augen geöffnet. Ich habe schon des öfteren gegoogelt, wie das Erzeugendensystem einer Algebra "arbeitet". Ich hätte mir einfach vor Augen führen sollen, was das durch eine Menge erzeugt werden bedeutet. Nämlich, dass ich bezüglich der Inklusion die kleinste der gewünschten Struktur suche, die meine Mengenelemente enthält.

Und da ich in einer Algebra die Skalarmultiplikation, Addition und eine speziell definierte Multiplikation habe, erhalte ich genau die Polynome über dem gewünschten Körper, in die ich dann meine Erzeuger einsetze.

Vielen Dank für eure Geduld. Danke euch habe ich mein Verständnisproblem endlich erkannt und durch eure Hilfe das Brett vor meinem Kopf entfernen können. smile



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darkhelmet
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Das freut mich. smile



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