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Universität/Hochschule Sigma-Borel-Algebra
frank34
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-08

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Zuerst mal die Frage, ob ich damit richtige liege, dass die von G erzeugte Algebra die Sigma-Borel-Algebra auf $\IR$ ist.

$\sigma (G)$ muss doch G enthalten. Was wäre denn da bitte das Komplement von G in $\IR$ und vorallem wie kann ich das in $\IR$ bilden. G ist doch eine Menge offener Intervalle. Und sollte das doch irgendwie gehen, ist dann nicht G schon ganz $\IR$ ..?

Wenn $\sigma (G)$ einfach alle offenen Intervalle beinhalten würde, also statt einer Menge G, die diese beinhaltet.., hätte ich die Aufgabe glaub ich schon gelöst. Aber das Sigma eben die Menge der Intervalle enthält, verwirrt mich doch etwas.

Mfg

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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-08

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Huhu frank34,

$G$ ist natürlich kein Element von $\sigma (G)$!

Wenn ich Dich richtig verstehe, geht es Dir um (bzw. fehlt Dir) eine formale Definition des $\sigma$-Operators?

Sei $A$ eine Menge und $\mathcal{P}(A)$ ihre Potenzmenge. Für $B\in \mathcal{P}(A)$ ist $\sigma (B)=\bigcap C$, wobei über alle $\sigma$-Algebren $C$ mit $C \supset B$ der Schnitt gebildet wird.

lg, AK.
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frank34
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08

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Hey,

$\sigma (G)$ haben wir definiert bzw. gezeigt, ist die kleinste $\sigma$ Algebra, welche G enthält. Und G eben Teilmenge der Potenzmenge der Grundmenge. Deshalb eben meine Annahme G ist Element von $\sigma (G)$.
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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-08

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Huhu frank34,

$\sigma (G)$ ist die kleinste $\sigma$-Algebra, die alle Elemente von $G$ enthält bzw. und das ist vermutlich gemeint: Es ist die kleinste $\sigma$-Algebra, die $G$ als Teilmenge enthält.

Wobei ich zugebe, dass dies nicht immer eindeutig definiert wird und auch oft etwas nonchalant aufgeschrieben wird: $\sigma([a,b])$ würde jeder verstehen, obwohl es im Sinne "meiner" Definition natürlich $\sigma(\{[a,b]\})$ heissen müsste.

lg, AK.
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frank34
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08

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Ok,

das macht es doch um einiges verständlicher. Also habe ich einfach alle offenen Intervalle in meiner Sigma Algebra von G.

Die kann ich von einem Punkt x aus nach links und rechts entsprechend abzählbar vereinigen und liege immer noch in der Algebra. Wenn ich diese zwei Intervalle, dann noch ein Mal vereinige und das Komplement bilde, müsste ich dann also {x} als Element von $\sigma (G)$ bekommen?

Danke für die Klarstellung.

Mfg
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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-08

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Huhu frank,

leider verstehe ich Deine Idee nicht ganz, es sollte aber in die richtige Richtung gehen.

Du könntest aber auch einfach $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} (x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})$ betrachten.

lg, AK.
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