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Festkörperphysik » Dynamik im Festkörper » Zustandsdichte, Zusammenhang Frequenz- und q-Raum, Dispersionsrelation
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Universität/Hochschule J Zustandsdichte, Zusammenhang Frequenz- und q-Raum, Dispersionsrelation
MrGuest
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-16


Hallo,

ich lese mir gerade den Gross/Marx zum oben genannten Thema durch.

Die allgemeine Frage: Was ist die Zustandsdichte?

Die Zustandsdichte im Impulsraum ist definiert als das Verhältnis der Anzahl der Zustände und dem zugehörigen q-Raum-Volumen und wird im folgendem Bild schön hergeleitet:


Kurz Allgemein:
1. Der Lösungsansatz <math>\displaystyle \vec u(\vec R)=Ae^{i(\vec q\cdot \vec R - \omega t)}</math> beschreibt die Auslenkung eines Gitterpunktes, wobei <math>\displaystyle \vec R</math> mit den primitiven Gittervektoren <math>\displaystyle \vec a_i</math> einen 3D-Kristall mit den Seitenlängen <math>\displaystyle N_1|\vec a_1|, N_2|\vec a_2| und N_3|\vec a_3|</math> beschreibt. Also handelt es sich um einen endlichen Kristall mit Oberfläche.

Warum gilt dann die Randbedingung <math>\displaystyle \vec u (\vec R) = \vec u (\vec R + N_i \cdot a_i)</math> mit i=1,2,3?

Also laut dem ist die Auslenkung eines Gitterpunktes genau gleich wie die Auslenkung am Rand bzw. an der Oberfläche? Ist die Oberfläche nicht fest "verankert" wie eine Wand?


Zusätzliche Frage zum Bild:
2. Das Volumen der Wigner-Seitz-Zelle um einen Gitterpunkt ist derjenige Bereich, der diesem Gitterpunkt näher ist als irgendeinem anderen Gitterpunkt.

2.1 Multipliziert man dieses Volumen mit der Anzahl der Gitterpunkte/Zustände N = N1N2N3 erhält man dann das Volumen des Kristalls V ?

2.2 Wie kann ich mir dann das q-Raum Volumen eines einzelnen Zustands vorstellen? siehe (5.3.22)

MfG
MrGuest







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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-16


2018-03-16 16:53 - MrGuest im Themenstart schreibt:
Hallo,

ich lese mir gerade den Gross/Marx zum oben genannten Thema durch.

Die allgemeine Frage: Was ist die Zustandsdichte?
Ist das als rhetorische Frage gemeint? Da du die Frage im Grunde schon selber beantwortest. Wobei es nicht die eine Zustandsdichte gibt. Es ist immer eine Frage wovon es die Zustandsdichte ist und in welchem Raum.

2018-03-16 16:53 - MrGuest im Themenstart schreibt:
Kurz Allgemein:
1. Der Lösungsansatz <math>\displaystyle \vec u(\vec R)=Ae^{i(\vec q\cdot \vec R - \omega t)}</math> beschreibt die Auslenkung eines Gitterpunktes, wobei <math>\displaystyle \vec R</math> mit den primitiven Gittervektoren <math>\displaystyle \vec a_i</math> einen 3D-Kristall mit den Seitenlängen <math>\displaystyle N_1|\vec a_1|, N_2|\vec a_2| und N_3|\vec a_3|</math> beschreibt. Also handelt es sich um einen endlichen Kristall mit Oberfläche.

Warum gilt dann die Randbedingung <math>\displaystyle \vec u (\vec R) = \vec u (\vec R + N_i \cdot a_i)</math> mit i=1,2,3?
Der Abschnitt, den du hier betrachtest, berücksichtig periodische Randbedingungen. Die Periodizität ist durch die primitive Einheitszelle gegeben, die durch die Vektoren <math>\vec{a}_i</math> aufgespannt wird und im Fall einer einatomigen Kette entsprechend einen Gitterpunkt mit einem Atom enthält.

2018-03-16 16:53 - MrGuest im Themenstart schreibt:
Also laut dem ist die Auslenkung eines Gitterpunktes genau gleich wie die Auslenkung am Rand bzw. an der Oberfläche? Ist die Oberfläche nicht fest "verankert" wie eine Wand?
Ich verstehe nicht ganz, was du meinst.

2018-03-16 16:53 - MrGuest im Themenstart schreibt:
Zusätzliche Frage zum Bild:
2. Das Volumen der Wigner-Seitz-Zelle um einen Gitterpunkt ist derjenige Bereich, der diesem Gitterpunkt näher ist als irgendeinem anderen Gitterpunkt.

2.1 Multipliziert man dieses Volumen mit der Anzahl der Gitterpunkte/Zustände N = N1N2N3 erhält man dann das Volumen des Kristalls V ?
Für ein gegebenes Gitter behält die Wigner-Seitz-Zelle ein konstantes Volumen und sie erfüllt die Translationssymmetrie des Bravais-Gitters. Also ja, im Grunde kann man so das Volumen des Kristalls über die Multiplikation mit den Gitterpunkten bestimmen. Die Gültigkeit für den Weg über die Zustände N gilt ja nur, wenn es sich um eine einatomige Basis handelt und somit die Anzahl der Zustände identisch ist mit der Anzahl der Atome.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-16


2018-03-16 19:36 - Berufspenner in Beitrag No. 1 schreibt:

2018-03-16 16:53 - MrGuest im Themenstart schreibt:
Kurz Allgemein:
1. Der Lösungsansatz <math>\displaystyle \vec u(\vec R)=Ae^{i(\vec q\cdot \vec R - \omega t)}</math> beschreibt die Auslenkung eines Gitterpunktes, wobei <math>\displaystyle \vec R</math> mit den primitiven Gittervektoren <math>\displaystyle \vec a_i</math> einen 3D-Kristall mit den Seitenlängen <math>\displaystyle N_1|\vec a_1|, N_2|\vec a_2| und N_3|\vec a_3|</math> beschreibt. Also handelt es sich um einen endlichen Kristall mit Oberfläche.

Warum gilt dann die Randbedingung <math>\displaystyle \vec u (\vec R) = \vec u (\vec R + N_i \cdot a_i)</math> mit i=1,2,3?
Der Abschnitt, den du hier betrachtest, berücksichtig periodische Randbedingungen. Die Periodizität ist durch die primitive Einheitszelle gegeben, die durch die Vektoren <math>\vec{a}_i</math> aufgespannt wird und im Fall einer einatomigen Kette entsprechend einen Gitterpunkt mit einem Atom enthält.


<math>\displaystyle N_1</math> ist ja die Anzahl der Gitterpunkte/zustände Richtung x-Achse. Multipliziert man diese Anzahl mit dem Gitterpunktabstand <math>\displaystyle |\vec a_1|</math>, dann erhält man die Länge des Kristalls in Richtung der x-Achse.

Jedoch wie genau kann ich mir <math>\displaystyle \vec u (\vec R + N_1 \cdot \vec a_1)</math> vorstellen? Das muss doch die Auslenkung am Punkt <math>\displaystyle \vec P = \vec R + N_1 \cdot \vec a_1</math> sein. Und wenn <math>\displaystyle \vec R</math> mir die Position meines betrachteten Atoms gibt, zeigt <math>\displaystyle \vec P</math> genau auf das letzte Atom, also auf das Ende meiner einatomigen Kette, oder?

Jedoch handelt es sich doch um einen endlichen Kristall und wenn <math>\displaystyle |\vec P|</math> wirklich in dem Fall die Seitenlänge in x-Richtung angibt, muss <math>\displaystyle \vec R</math> eigentlich auf das 1. Atom meiner Kette zeigen, sodass das auch stimmt.

Und dann sagt mir die angegebene RB, dass die Auslenkung des ersten Atoms dieselbe ist wie die Auslenkung des letzten Atoms am Ende des Kristalls. Jedoch sagt das nichts über die Atome dazwischen aus, oder?







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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-17


2018-03-16 20:25 - MrGuest in Beitrag No. 2 schreibt:
Jedoch wie genau kann ich mir <math>\displaystyle \vec u (\vec R + N_1 \cdot \vec a_1)</math> vorstellen?
<math>\displaystyle \vec u (\vec R + N_1 \cdot \vec a_1)</math> alleine ist bloß ein Vektor an der Position <math>\vec{R} + N_1\cdot a_1</math>, der die Auslenkung um die Ruhelage ausdrückt. Die Gleichung <math>\displaystyle \vec u (\vec R) = \vec u (\vec R + N_i \cdot a_i)</math> ist einfach eine allgemeine Beschreibung für die periodizität. Aus der Mathematik kennst du genauso <math>\cos(x) = \cos(x + 2\pi)</math>. Die Gleichung drückt lediglich aus, dass <math>\vec{u}</math> periodisch entlang von <math>a_1</math> mit der Periodenlänge <math>N_1\cdot a_1</math> ist.

2018-03-16 20:25 - MrGuest in Beitrag No. 2 schreibt:
Das muss doch die Auslenkung am Punkt <math>\displaystyle \vec P = \vec R + N_1 \cdot \vec a_1</math> sein. Und wenn <math>\displaystyle \vec R</math> mir die Position meines betrachteten Atoms gibt, zeigt <math>\displaystyle \vec P</math> genau auf das letzte Atom, also auf das Ende meiner einatomigen Kette, oder?
Wenn <math>\vec{R}</math> auf dein betrachtetes Atom zeigt und <math>\vec{u}(\vec{R})</math> die Auslenkung dieses Atoms beschreibt, dann zeigt <math>\vec{R} + N_1\cdot\vec{a}_1</math> auf dasselbe Atom und damit ist auch die Auslenkung dieselbe und es gilt <math>\displaystyle \vec u (\vec R) = \vec u (\vec R + N_i \cdot a_i)</math>. Das folgt alles aber nur aus der Modellannahme von periodischen Randbedingungen.

2018-03-16 20:25 - MrGuest in Beitrag No. 2 schreibt:
Jedoch handelt es sich doch um einen endlichen Kristall und wenn <math>\displaystyle |\vec P|</math> wirklich in dem Fall die Seitenlänge in x-Richtung angibt, muss <math>\displaystyle \vec R</math> eigentlich auf das 1. Atom meiner Kette zeigen, sodass das auch stimmt.
Wenn <math>\vec{R}</math> auf das N-te Atom deiner N atomigen Kette zeigt und du nun von dort auf das Atom N+1 zeigen willst, dann bist du wieder beim ersten Atom. Die Kette wurde in dem Modell der periodischen Ranbedingungen geschlossen. In einer Dimension kann man sich das noch gut vorstellen. In drei geht das schon nicht mehr wirklich.

2018-03-16 20:25 - MrGuest in Beitrag No. 2 schreibt:
Und dann sagt mir die angegebene RB, dass die Auslenkung des ersten Atoms dieselbe ist wie die Auslenkung des letzten Atoms am Ende des Kristalls. Jedoch sagt das nichts über die Atome dazwischen aus, oder?
Die Randbedingungen stellen eine Einschränkung der Komplexität des realen Kristalls dar, um ihn mit einem einfachen Modell greifbarer zu machen. Jedes Modell hat aber nur begrenzte Gültigkeit. Du solltest versuchen zu verstehen, was ein Modell ausmacht und wo es vielleicht die Realität nicht mehr sauber beschreiben kann.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-17

\(\begingroup\)
Verstehe danke, jetzt ist einiges klarer.

Mit Hilfe der periodischen Randbedingungen kann ich dann meine bestimmten erlaubten Wellenvektoren ausrechnen:

$$\vec q = \frac{p_1}{N_1}\vec b_1 + \frac{p_2}{N_2} \vec b_2 + \frac{p_3}{N_3} \vec b_3$$

wobei <math>\displaystyle p_i</math> eine ganzzahlige Zahl und <math>\displaystyle N_i \cdot \vec a_i \cdot \vec q = 2\pi p_i</math> ist.

Jedoch warum darf <math>\displaystyle p_i</math> maximal betragsmäßig <math>\displaystyle \frac{N_i-1}{2}</math> sein, wenn man sich auf die 1. BZ beschränkt?


\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-17


2018-03-17 16:53 - MrGuest in Beitrag No. 4 schreibt:
Jedoch warum darf <math>\displaystyle p_i</math> maximal betragsmäßig <math>\displaystyle \frac{N_i-1}{2}</math> sein, wenn man sich auf die 1. BZ beschränkt?
Die 1. BZ ist die Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters. Sie besitzt also die volle Symmetrie des reziproken Gitters außerhalb von ihr setzt sich die gesamte Struktur periodisch fort. Dabei hat sich die Konvention etabliert, die Zustände in der 1. BZ symmetrisch um den Ursprung bei q = 0 anzuordnen.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-17


Ok, es ist verständlich, dass die 1. BZ sich periodisch durch den Kristall fortsetzt. Im 1D ist alles jedoch echt viel leichter vorstellbar.

Aber allgemein kann man sagen:
1D: In der 1. BZ sind N Zustände
3D: in der 1. BZ sind N=N1*N2*N3 Zustände.

Diese Zustände nennt man auch Schwingungsmoden, d.h. es gibt verschiedene Zustände/Wellen mit unterschiedlicher Frequenz bzw. Wellenvektor q.

Laut Gross/Marx sind in einem 3D Gitter mit r Basisatomen 3r*N Schwingungsmoden möglich. Ich dachte die drei Raumrichtungen wurde bereits mit N=N1*N2*N3 berücksichtigt, warum wird das ganze dann nochmal verdreifacht?

 



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-18


2018-03-17 21:49 - MrGuest in Beitrag No. 6 schreibt:
Laut Gross/Marx sind in einem 3D Gitter mit r Basisatomen 3r*N Schwingungsmoden möglich. Ich dachte die drei Raumrichtungen wurde bereits mit N=N1*N2*N3 berücksichtigt, warum wird das ganze dann nochmal verdreifacht?
Bei einer einatomigen Basis gibt es nur akustische Schwingungsmoden, die sich in einen longitudinalen und zwei transversale Dispersionszweige aufteilen. In Summe sind es also drei Dispersionszweige. Für jeden Zweig gibt es <math>N = N_1\cdot N_2\cdot N_3</math> Zustände im dreidimensionalen Kristall. Daher kommt der Faktor 3.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-18


Danke, so ergibt es mehr Sinn.

Aber etwas anderes verwirrt mich ein wenig: Wenn <math>\displaystyle N_1|\vec a_1|</math>, <math>\displaystyle N_2|\vec a_2|</math> und <math>\displaystyle N_3|\vec a_3|</math> die Seitenlängen des Kristalls sind, spricht man von <math>\displaystyle N = N_1 N_2 N_3</math> Gitterpunkten bzw. Atomen.

Also wenn man einen 3D-Kristall mit N Gitterpunkten betrachtet im Modell der periodischen Randbedingungen, dann gibt es auch N Zustände/Schwingungsmoden in der 1. BZ. Also N Atome können schwingen.

Und den Grund, dass es ausreicht die 1. BZ zu betrachten, kann man in diesem Bild sehen:


Die 1. BZ beinhaltet ja ein Atom, aber die Schwingung geht ja über alle Atome hinweg, d.h. wenn eine höhere BZ angesprochen wird, macht sich die höhere Frequenz auch in der 1. BZ bemerkbar.

Ist das Gesagte so richtig formuliert?





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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-03-19


2018-03-18 23:10 - MrGuest in Beitrag No. 8 schreibt:
Die 1. BZ beinhaltet ja ein Atom, aber die Schwingung geht ja über alle Atome hinweg, d.h. wenn eine höhere BZ angesprochen wird, macht sich die höhere Frequenz auch in der 1. BZ bemerkbar.

Ist das Gesagte so richtig formuliert?
Leider nicht. Es muss ganz klar zwischen zwischen dem Gitter im Ortsraum und im reziproken Raum unterschieden werden. Beide Gitter sind über die Fourier-Transformation miteinander verbunden. Ein Kristall (im Ortsraum) ist die Summe eines Gitters und seiner Atombasis. Die 1. BZ enthält also kein Atom sondern einen reziproken Gitterpunkt. Zudem gilt durch die Fourier-Transformation, dass eine scharfe Lokalisierung, z.B. eines Atoms, eine Verschmierung im reziproken Raum, und umgekehrt, entspricht. Das im Ortsraum lokalisierte Atom müsste also hinreichend gut durch seine Ladungsdichteverteilung beschrieben werden, die wiederum als Fourier-Reihe entwickelt werden müsste (sieh dazuhier).



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-19


Okay, ich habe mir den Link und auch nochmal den Fall im Eindimensionalen mit periodischen RB im Gross/Marx durchgelesen.

Ich fasse zusammen:
Bei N Atomen mit periodischen RB schwingen N Atome, also hat man N Schwingungsmoden. Das sind N mögliche Wellenvektoren q. Und jeder Wellenvektor q zeigt ja auf einen reziproken Gittepunkt bzw. repräsentiert diesen.

Fragestellung:
Mir ist die Aussage "Es befinden sich N Zustände/Wellenvektoren in der 1. BZ" nicht so geläufig. Weil wenn in der 1. BZ nur ein reziproker Gitterpunkt sein kann, wie kann diese dann alle N enthalten?

Meine Antwort:
Wir wissen, dass sich die 1. BZ periodisch fortsetzt. Daher gilt <math>\displaystyle \omega (\vec q) = \omega (\vec q + \vec G)</math> wenn G der reziproke Gittervektor ist bzw. auch <math>\displaystyle \omega(-\vec q)=\omega(\vec q)</math>. Heißt das, dass Wellenvektoren von höheren BZ dieselbe Information liefern, wenn man nun die gestrichelte Linie und die durchgezogene Linie in meinem Bild in Beitrag No. 8 betrachtet ?

Da die Punkte(auf diesem Bild in Beitrag No. 8) meine Atome darstellen und die Auslenkung dieser sich vom Wellenvektor <math>\displaystyle \vec q</math> auf <math>\displaystyle \vec q + \vec G</math> nicht ändern.




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
2018-03-19 11:58 - MrGuest in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich fasse zusammen:
Bei N Atomen mit periodischen RB schwingen N Atome, also hat man N Schwingungsmoden. Das sind N mögliche Wellenvektoren q. Und jeder Wellenvektor q zeigt ja auf einen reziproken Gittepunkt bzw. repräsentiert diesen.
Dies gilt nur unter bestimmten Rahmenbedingungen. Eine davon ist wie gesagt, dass in jeder primitiven Zelle im Ortsraum nur ein Atom liegt. Außerdem gilt dies weiterhin auch nur für einen einzigen Dispersionszweig.

2018-03-19 11:58 - MrGuest in Beitrag No. 10 schreibt:
Fragestellung:
Mir ist die Aussage "Es befinden sich N Zustände/Wellenvektoren in der 1. BZ" nicht so geläufig. Weil wenn in der 1. BZ nur ein reziproker Gitterpunkt sein kann, wie kann diese dann alle N enthalten?

Meine Antwort:
Wir wissen, dass sich die 1. BZ periodisch fortsetzt. Daher gilt \[\omega (\vec q) = \omega (\vec q + \vec G)\] wenn G der reziproke Gittervektor ist bzw. auch \[\omega(-\vec q)=\omega(\vec q)\]. Heißt das, dass Wellenvektoren von höheren BZ dieselbe Information liefern, wenn man nun die gestrichelte Linie und die durchgezogene Linie in meinem Bild in Beitrag No. 8 betrachtet ?

Da die Punkte(auf diesem Bild in Beitrag No. 8) meine Atome darstellen und die Auslenkung dieser sich vom Wellenvektor \[\vec q\] auf \[\vec q + \vec G\] nicht ändern.


Betrachten wir es der besseren Veranschaulichung noch einmal im eindimensionalen Fall. Sei \(L = N_1\cdot a_1\), dann liegen in der 1. BZ N Zustände mit den Wellenvektoren \(k_n\) mit dem Abstand \(2\pi/N\) nebeneinander. All diese Wellenvektoren schneiden nicht die Bragg-Flächen der 1. BZ. Wellenvektoren \(K\) aus höheren BZ kann man dadurch in die 1. BZ zurückführen, indem man ein Vielfaches von \(2\pi/a\) von ihm abzieht. Denn durch die periodische Fortsetzung enthalten Wellenvektoren höherer BZ keine neuen Informationen. Es gilt dann also \(K'  = K - n\cdot 2\pi/a\), wobei K' für gegebenes n wieder in der 1. BZ liegt.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-20


Danke für die Antwort!

Das Volumen der 1. BZ in 1D ist ja <math>\displaystyle \frac{2\pi}{a}</math>. Bei N Zuständen in der 1. BZ, hat dann ein Zustand nicht das Volumen von <math>\displaystyle \frac{2\pi}{L} = \frac{2\pi}{N\cdot a}</math>, was man in 1D auch als "Abstand" dieser Zustände ansehen kann?

Hier graphisch dargestellt:



Laut Gross/Marx sind die Bragg-Flächen ja einfach die Flächen der verschiedenen BZ's i-ter Ordnung. Also in 2D z.b. so:



In 1D sind die BZ's i-ter Ordnung bzw. Bragg-Flächen einfach in einer Linie periodisch angeordnet, so wie im 1. Bild oben. Und die Wellenvektoren <math>\displaystyle \vec k_n</math> zeigen auf den n-ten Zustand in der 1. BZ, die man im 1. Bild sehen kann.

Was heißt jedoch "All diese Wellenvektoren schneiden nicht die Bragg-Flächen der 1. BZ." ? Liegen diese Wellenvektoren nicht genau in der 1. BZ bzw. Bragg-Fläche, wenn meine Definition oben über Bragg-Flächen stimmt?





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2018-03-20 11:26 - MrGuest in Beitrag No. 12 schreibt:
Danke für die Antwort!

Das Volumen der 1. BZ in 1D ist ja <math>\displaystyle \frac{2\pi}{a}</math>. Bei N Zuständen in der 1. BZ, hat dann ein Zustand nicht das Volumen von <math>\displaystyle \frac{2\pi}{L} = \frac{2\pi}{N\cdot a}</math>, was man in 1D auch als "Abstand" dieser Zustände ansehen kann?

Hier graphisch dargestellt:

Da ist mir ein Tippfehler passiert. Es muss in der Tat <math>\frac{2\pi}{L}</math> mit <math>L = N\cdot a</math> (für 1D) für den Abstand zwischen zwei Zuständen lauten.

2018-03-20 11:26 - MrGuest in Beitrag No. 12 schreibt:
Laut Gross/Marx sind die Bragg-Flächen ja einfach die Flächen der verschiedenen BZ's i-ter Ordnung. Also in 2D z.b. so:



In 1D sind die BZ's i-ter Ordnung bzw. Bragg-Flächen einfach in einer Linie periodisch angeordnet, so wie im 1. Bild oben. Und die Wellenvektoren <math>\displaystyle \vec k_n</math> zeigen auf den n-ten Zustand in der 1. BZ, die man im 1. Bild sehen kann.
Einfach periodisch angeordnet sind die Bragg-Flächen (-Linien in 1D und 2D) nicht. Wo und wie liegen sie denn genau? Das bekommst du heraus, wenn du dir die Vorschrift zur Erstellung der Wigner-Seitz-Zelle anschaust.

2018-03-20 11:26 - MrGuest in Beitrag No. 12 schreibt:
Was heißt jedoch "All diese Wellenvektoren schneiden nicht die Bragg-Flächen der 1. BZ." ? Liegen diese Wellenvektoren nicht genau in der 1. BZ bzw. Bragg-Fläche, wenn meine Definition oben über Bragg-Flächen stimmt?
Gültige Wellenvektoren der 1. BZ haben ihren Anfang im Ursprung und ihr Ende an einer der Bragg-Flächen. Würde man einen Wellenvektor der 1. BZ mit einem konstanten Faktor > 1 multiplizieren, dann würde er die Bragg-Fläche schneiden und wäre kein gültiger Vektor der 1. BZ mehr.


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Danke.

Die Bragg-Flächen sollten in Abb. 2.3 die hell- bis dunkelgrün markierten Flächen sein. Wobei die hellste die 1. BZ und die dunkelste die 3. BZ ist.

Die sind nicht periodisch, stimmt. Die 1. BZ's von jedem einzelnen reziproken Gitterpunkt sind bei Betrachtung des ganzen reziproken Gitters periodisch aneinandergereiht.

In 1D sollte die 1. BZ einfach links und rechts eines reziproken Gitterpunktes jeweils den halben Abstand (von 2 GP's) einnehmen. Der reziproke GP sollte z.b. in Abb. 5.14 bei q=0 sitzen, so ist das die 1. BZ.

Das Zeichnen höherer BZ's in 1D ist gar nicht möglich, weil ich im Gegensatz zum 2-Dimensionalen nur 2 Gitterpunkte direkt neaben einem Gitterpunkt sind. Oder?

2018-03-20 13:10 - Berufspenner in Beitrag No. 13 schreibt:
Gültige Wellenvektoren der 1. BZ haben ihren Anfang im Ursprung und ihr Ende an einer der Bragg-Flächen. Würde man einen Wellenvektor der 1. BZ mit einem konstanten Faktor > 1 multiplizieren, dann würde er die Bragg-Fläche schneiden und wäre kein gültiger Vektor der 1. BZ mehr.

Das ist mir nocht nicht so ganz klar. D.h. gültige Wellenvektoren der 1. BZ können irgendwo hinzeigen, solange sie in eine Bragg-Fläche Enden? Siehe z.B. 2.3: Wenn ein Wellenvektor in diese Dreiecke (weiße Fläche) landet, dann ist dieser ungültig?

Und in 1D gibt es ja nur die 1. BZ von jedem einzelnen reziproken Gitterpunkt aus, wie ich weiter oben schon erwähnt habe. Also wenn ein Wellenvektor einer 1. BZ außerhalb dieser Endet, dann hat er genau eine Bragg-Linie überschritten. Macht ihn das jetzt ungültig, denn es gibt ja keine weiteren Bragg-Linien. Bei 2D ist es leichter zum Vorstellen. Das Bild 2.3 zeigt genau die 1. BZ und man sieht die angemalten Bragg-Flächen ganz genau.



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2018-03-21 15:27 - MrGuest in Beitrag No. 14 schreibt:
Die Bragg-Flächen sollten in Abb. 2.3 die hell- bis dunkelgrün markierten Flächen sein. Wobei die hellste die 1. BZ und die dunkelste die 3. BZ ist.

Die sind nicht periodisch, stimmt. Die 1. BZ's von jedem einzelnen reziproken Gitterpunkt sind bei Betrachtung des ganzen reziproken Gitters periodisch aneinandergereiht.
Nein, das ist nicht richtig. Die Bragg-Flächen bzw. in 1D und 2D die Bragg-Linien sind in Abbildung 2.3 die roten und blauen durchgezogenen Lininen. Die Wigner-Seitz Zelle im Ortsgitter und damit auch die 1. BZ im reziproken Gitter wird so gebildet, dass man von einem Gitterpunkt, den man damit als Ursprung festgelegt hat, Linien zu alle umgebenden Gitterpunkten zieht. Anschließend trennt man diese Lininen genau auf der Hälfte der Strecke zwischen diesen beiden Punkten durch eine senkrecht dazu verlaufenden Linie bzw. Fläche. Diese Linien oder Flächen bilden eine abgeschlossene Umrandung des Ursprungsgitterpunktes und sind die Bragg-Linien (1D und 2D) bzw. Bragg-Flächen (3D). Gültige Wellenvektoren der 1. BZ sind nur diese, die auf auf dem Teil der Bragg-Linie /-Fläche enden, deren Teil auch bei einem geschlossenen Umlauf um den Gitterpunkt auch Teil der Umrandung sind. Denn in Abbildung 2.3 siehst du ja, dass Bragg-Linien /-Flächen sich mehrfach mit anderen schneiden.

2018-03-21 15:27 - MrGuest in Beitrag No. 14 schreibt:
Das Zeichnen höherer BZ's in 1D ist gar nicht möglich, weil ich im Gegensatz zum 2-Dimensionalen nur 2 Gitterpunkte direkt neaben einem Gitterpunkt sind. Oder?
Das ist sehr wohl möglich. Die gehen dann einfach über + bzw. - <math>\pi/a</math> hinaus.

2018-03-21 15:27 - MrGuest in Beitrag No. 14 schreibt:
2018-03-20 13:10 - Berufspenner in Beitrag No. 13 schreibt:
Gültige Wellenvektoren der 1. BZ haben ihren Anfang im Ursprung und ihr Ende an einer der Bragg-Flächen. Würde man einen Wellenvektor der 1. BZ mit einem konstanten Faktor > 1 multiplizieren, dann würde er die Bragg-Fläche schneiden und wäre kein gültiger Vektor der 1. BZ mehr.

Das ist mir nocht nicht so ganz klar. D.h. gültige Wellenvektoren der 1. BZ können irgendwo hinzeigen, solange sie in eine Bragg-Fläche Enden? Siehe z.B. 2.3: Wenn ein Wellenvektor in diese Dreiecke (weiße Fläche) landet, dann ist dieser ungültig?
Siehe dazu oben, was Bragg-Linien /-Flächen sind. Gültige Wellenvektoren sind die, die zu anderen Gitterpunkten zeigen und auf den Bragg-Linien /-Flächen enden.

2018-03-21 15:27 - MrGuest in Beitrag No. 14 schreibt:
Und in 1D gibt es ja nur die 1. BZ von jedem einzelnen reziproken Gitterpunkt aus, wie ich weiter oben schon erwähnt habe. Also wenn ein Wellenvektor einer 1. BZ außerhalb dieser Endet, dann hat er genau eine Bragg-Linie überschritten. Macht ihn das jetzt ungültig, denn es gibt ja keine weiteren Bragg-Linien. Bei 2D ist es leichter zum Vorstellen. Das Bild 2.3 zeigt genau die 1. BZ und man sieht die angemalten Bragg-Flächen ganz genau.
Siehe oben.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-23


Achsooo, danke! Jetzt verstehe ich es, es hat mich nur verwirrt als ich im Buch "Flächen" gelesen habe, aber in 2D sind es ja wortwötlich Linien!


D.h. in 1D sind meine Bragg-Linien genau bei <math>\displaystyle q=-\pi/a</math> und <math>\displaystyle q=\pi/a</math>, wenn ich mir meinen reziproken Gitterpunkt bei q=0 vorstelle.

Angenommen <math>\displaystyle K</math> ist ein Wellenvektor in einer höheren BZ und es gilt ja
<math>\displaystyle K'  = K - n\cdot 2\pi/a</math> wobei <math>\displaystyle K'</math> für entsprechendes n wieder in der 1. BZ ist.

Angenommen q geht über <math>\displaystyle -\pi/a</math> hinaus und schneidet eben diese Bragg-Linie. Ist q dann ein Wellenvektor höherer BZ?

Wäre dann die höhere BZ von <math>\displaystyle -\pi/a</math> bis <math>\displaystyle -3\pi/a</math>?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-03-23


2018-03-23 12:56 - MrGuest in Beitrag No. 16 schreibt:
Angenommen q geht über <math>\displaystyle -\pi/a</math> hinaus und schneidet eben diese Bragg-Linie. Ist q dann ein Wellenvektor höherer BZ?
Ja, siehe oben.

2018-03-23 12:56 - MrGuest in Beitrag No. 16 schreibt:
Wäre dann die höhere BZ von <math>\displaystyle -\pi/a</math> bis <math>\displaystyle -3\pi/a</math>?
Meinem Verständis nach werden BZ symmetrisch um einen Ursprung gebildet. Die 2. BZ würde dann von <math>-2\pi/a</math> bis <math>-\pi/a</math> und entsprechend von <math>\pi/a</math> bis <math>2\pi/a</math>. Guck dir dazu einmal die Animation auf dieser Seite hier sowie lese dir am besten auch noch einmal die anderen Seiten durch. Das macht es ganz Anschaulich. Die 1. BZ ist nicht in der 2. BZ, da wie unter dem Link zu sehen, durch die Periodizität, die Flächen / Volumina der höheren BZ genauso groß sind, wie die die / das der 1. BZ.


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Danke, diese Seite ist echt super und erklärt die Grundlagen perfekt!

Um zurück auf die Zustandsdichte zu kommen:
Der Übergang von q-Raum in den Frequenzraum ist mir noch nicht klar.



Also so wie ich das verstanden habe gibt es ein Integral über einen einen bestimmten Frequenzbereich <math>\displaystyle \Delta \omega</math> von der Zustandsdichte <math>\displaystyle D(\omega)</math>, der mir die Anzahl der Zustände wieder gibt. (pro Dispersionszweig)

<math>\displaystyle N = \int_{1.BZ}d^3q Z(\vec q)= \int_{\omega(\vec q)}^{\omega(\vec q)+\Delta \omega(\vec q)}}d\omega D(\omega)</math>

Das letzte Integral kann man dann gleichsetzen mit

<math>\displaystyle D(\omega)\Delta \omega = \frac{V}{(2\pi)^3} \int_{\vec q(\omega)}^{\vec q( \omega)+\Delta \vec q(\omega)}} d^3q</math>

und mit dem Ausdruck

<math>\displaystyle d^3q = dS_q dq_{\bot} = \frac{dS_q}{\nabla_{\vec q}\omega(\vec q)}} \Delta \omega</math>

die Zustandsdichte D berechnet werden kann.

Das Bild ist für mich noch sehr unverständlich:

1. Ist die rote Fläche nun mein q-Raum Volumen (Also in 2D eine Fläche)? Das ist halt jetzt keine BZ, sondern irgendein Bereich so wie ich das sehe. Wenn ich die Anzahl der Zustände in der Fläche weiß, kann ich ja wieder eine Zustandsdichte bilden.

2. Bzw. was ist das Prinzip des zweiten Bildes rechts? Also was bedeuten diese Frequenzflächen?






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2018-03-23 21:29 - MrGuest in Beitrag No. 18 schreibt:
Das Bild ist für mich noch sehr unverständlich:

1. Ist die rote Fläche nun mein q-Raum Volumen (Also in 2D eine Fläche)? Das ist halt jetzt keine BZ, sondern irgendein Bereich so wie ich das sehe. Wenn ich die Anzahl der Zustände in der Fläche weiß, kann ich ja wieder eine Zustandsdichte bilden.

2. Bzw. was ist das Prinzip des zweiten Bildes rechts? Also was bedeuten diese Frequenzflächen?

Also eigentlich steht alles recht eindeutig in dem Text unter dem Bild sowie in der eigentlichen Bildunterschrift. Es sind allgemeine Abbildungen, die die Rechnungen verdeutlichen sollen. Lies dir die Abschnitte noch einmal durch. Wenn dann noch was unklar ist, können wir gerne versuchen dies aufzulösen.


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Okay, ich habe mir alles nochmal durchgelesen.

Lass uns erstmal nur das Bild 5.16 betrachten bitte. Zuvor haben wir ja Zustände im Bild 5.14 im 1D-q-Raum betrachtet und da ist bei q=0 eben der reziproke Gitterpunkt.

Ich gehe jetzt davon aus, dass das in Bild 5.16 ebenso ist (reziproker Gitterpunkt bei q=(0/0)) und hier z.B. die 1. BZ betrachtet wird, da alle abgebildeten Punkte erlaubte Zustände sind.

Also jeder Punkt repräsentiert einen anderen Wellenvektor q. Im Bildtext steht, dass diese pinke schattierte Fläche (q-Raumvolumen) zwischen zwei Flächen konstanter Frequenz ist. Wobei eine der Flächen im Inneren des Ovals (q-Raumvolumen) ist und die andere außerhalb. Jedoch hängt die Frequenz vom Wellenvektor <math>\displaystyle \textbf{q}</math> ab.

Warum ist bei den Flächen außerhalb des q-Raumvolumens(Oval, rot) die Frequenz konstant?



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2018-03-27 11:47 - MrGuest in Beitrag No. 20 schreibt:
Warum ist bei den Flächen außerhalb des q-Raumvolumens(Oval, rot) die Frequenz konstant?
Die Frequenz (Energie) ist nicht außerhalb des Volumens konstant sondern genau auf der Linie (1D und 2D) bzw. Fläche (3D), die jeweils zur einer Seite hin das Oval in Abbildung 5.16 begrenzt. Die Funktion <math>\omega(\vec{q})</math> heißt Dispersionsrealtion und verbindet allgemein den (Kristall-/Quasi-) Impuls mit der Energie, die durch die Frequenz dargestellt wird. Abhängig von der jeweils gültigen Dispersionsrelation erfüllen nur bestimmte Wellenvektoren <math>\vec{q}</math> die Bedingungs <math>\omega(\vec{q}) = const</math>. Die Einhüllende all dieser Wellenvektoren bildet dann eine geschlossene Linie/Fläche, auf der die Frequenz konstant ist.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-02


Danke, jetzt kann ich mir das besser vorstellen.

<math>\displaystyle |\nabla_q \omega(\vec q)|</math> soll doch die Änderung von <math>\displaystyle \omega</math> senkrecht zur Fläche <math>\displaystyle \omega = const</math> darstellen.

Geht das überhaupt? Die Fläche <math>\displaystyle \omega</math> ist doch konstant. Was ist dann ihre senkrechte Änderung?





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2018-04-02 13:54 - MrGuest in Beitrag No. 22 schreibt:
Danke, jetzt kann ich mir das besser vorstellen.

<math>\displaystyle |\nabla_q \omega(\vec q)|</math> soll doch die Änderung von <math>\displaystyle \omega</math> senkrecht zur Fläche <math>\displaystyle \omega = const</math> darstellen.

Geht das überhaupt? Die Fläche <math>\displaystyle \omega</math> ist doch konstant. Was ist dann ihre senkrechte Änderung?
<math>\displaystyle |\nabla_q \omega(\vec q)|</math> ist der Betrag des Gradienten einer Kurve/Fläche, für die entsprechend der gewählten Dispersionsrelation die Kreisfrequenz/Energie konstant ist. Das heißt nicht, dass die einhüllende Kuve/Fläche konstant in der Hinsicht ist, dass sie keine Krümmung aufweist.


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Der Gradient zeigt ja immer dahin, wo der Anstieg lokal am höchsten ist. Der Anstieg ist in demm Fall die Änderungsrate der Kreisfrequenz bezogen auf q.

Ich möchte mir das nochmal grafisch im Bild 5.16 veranschaulichen:
Also wir haben ein q-Raum-Volumen(schattiert), wo die Frequenz irgendwelche Werte abhängig von der gegebenen Dispersionsrelation <math>\displaystyle \omega (\vec q)</math> annehmen kann.

In dem Fall gibt es zwei Flächen im q-Raum, wo die Frequenz konstant ist. (jede Fläche repräsentiert eine andere Frequenz)

Also im Prinzip wird das q-Raumvolumen durch zwei Flächen begrenzt. Und die Form dieser Begrenzung ist Abhängig von der Dispersionsrelation.

Kurz gesagt: Die Dispersionsrelation <math>\displaystyle \omega(\vec r)</math> ist ein Skalarfeld, das auf bestimmte Flächen konstant ist.

Daher ist der Gradient <math>\displaystyle \nabla \omega (\vec q)</math> nur an diesen Flächen senkrecht und zeigt in Richtung lokaler höchster Steigung.

Stimmt das bisher?


Nun meine Frage: Der Betrag des Gradienten des Skalarfeldes ist in dem Fall die Gruppengeschwindigkeit.
Warum ist jedoch dieser Betrag multipliziert mit dem Abstand <math>\displaystyle d_{q_\bot}</math> dieser oben genannten Grenzflächen gleich <math>\displaystyle \Delta \omega</math>?

Das kann ich mir noch nicht grafisch vorstellen, wie das dazu führen kann. Ich gehe davon aus, dass <math>\displaystyle \Delta \omega</math> die Differenz der konstanten Frequnzen der beiden Grenzflächen ist.

 



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2018-04-06 20:36 - MrGuest in Beitrag No. 24 schreibt:
Der Gradient zeigt ja immer dahin, wo der Anstieg lokal am höchsten ist. Der Anstieg ist in demm Fall die Änderungsrate der Kreisfrequenz bezogen auf q.

Ich möchte mir das nochmal grafisch im Bild 5.16 veranschaulichen:
Also wir haben ein q-Raum-Volumen(schattiert), wo die Frequenz irgendwelche Werte abhängig von der gegebenen Dispersionsrelation <math>\displaystyle \omega (\vec q)</math> annehmen kann.

In dem Fall gibt es zwei Flächen im q-Raum, wo die Frequenz konstant ist. (jede Fläche repräsentiert eine andere Frequenz)

Also im Prinzip wird das q-Raumvolumen durch zwei Flächen begrenzt. Und die Form dieser Begrenzung ist Abhängig von der Dispersionsrelation.

Kurz gesagt: Die Dispersionsrelation <math>\displaystyle \omega(\vec r)</math> ist ein Skalarfeld, das auf bestimmte Flächen konstant ist.

Daher ist der Gradient <math>\displaystyle \nabla \omega (\vec q)</math> nur an diesen Flächen senkrecht und zeigt in Richtung lokaler höchster Steigung.

Stimmt das bisher?
Im Grunde kann man das so stehen lassen, wenn ich jetzt kein Detail übersehen habe.

2018-04-06 20:36 - MrGuest in Beitrag No. 24 schreibt:
Nun meine Frage: Der Betrag des Gradienten des Skalarfeldes ist in dem Fall die Gruppengeschwindigkeit.
Warum ist jedoch dieser Betrag multipliziert mit dem Abstand <math>\displaystyle d_{q_\bot}</math> dieser oben genannten Grenzflächen gleich <math>\displaystyle \Delta \omega</math>?

Das kann ich mir noch nicht grafisch vorstellen, wie das dazu führen kann. Ich gehe davon aus, dass <math>\displaystyle \Delta \omega</math> die Differenz der konstanten Frequnzen der beiden Grenzflächen ist.

 
Vielleicht sollte es besser <math>d\omega</math> anstelle von <math>\Delta\omega</math> lauten, denn es sollte relativ gut ersichtlich sein, dass <math>\frac{d\omega}{dq_\perp} = \displaystyle |\nabla_q \omega(\vec q)|</math> ist, denn <math>dq_\perp</math> ist ja der senkrechte Abstand zwischen zwei Flächen konstanter Frequenz/Energie im reziproken Raum. Entsprechend beschreibt <math>\Delta\omega = d\omega = \displaystyle |\nabla_q \omega(\vec q)|\cdot dq_\perp</math> den energetischen Abstand der beiden Flächen.


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