Die Mathe-Redaktion - 19.07.2018 17:40 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Juli
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind Gäste und Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Kombinatorik & Graphentheorie » Graphentheorie » Baum Beweis (Zahl Knoten und Blätter)
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Baum Beweis (Zahl Knoten und Blätter)
Wirkungsquantum
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 466
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-20

\(\begingroup\)
Hallo,
passt zur folgenden Aufgabe mein Beweis so?
Zeigen Sie, dass für jedes $b,s$$\in \IN$ und $x \in \{1,...,b^s\}$ ein gerichteter Wurzelbaum $T(x,s)$ mit Ausgangsgrad $\le b$ und
den folgenden Eigenschaften existiert:
-T(x,s) hat x Blätter.
-Für die Zahl der inneren Knoten gilt: $I(T(x,s)) \le \frac{x}{b-1}+s$

Hinweis: Vollständige Induktion über s.
Das die Zahl der Knoten eines Baums sich mit der geometrischen Summe berechnen lassen darf ich verwenden.

Ist hier mit "mit Ausgangsgrad $\le b$" gemeint das der Ausgangsgrad des Baums selber auch kleiner als b sein kann? Sprich kein konstanter Ausgangangsgrad.

Zur Zahl der Blätter:
IA: s=0: T(x,0) besteht nur aus einem Blatt, hat also $x=b^0=1$ Blätter.
IV: Bäume T(x,s) haben $x=b^s$ Blätter.
IS: Konstruiert man nun mit Hilfe von b Bäumen aus IV einen neuen Baum, dann hat der Baum nach IV $x=b \cdot b^s=b^{s+1}$ Blätter.

Zur Zahl der inneren Knoten:
Diese sind ja (geometrische Summe)
$\frac{1-b^s}{1-b}=\frac{1-x}{1-b}=\frac{1}{1-b}-\frac{x}{1-b} \le \frac{x}{b-1}+s$

Danke im Voraus.

Grüße,
h


-----------------
$h=6,626⋅10^{-34} Js$
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4196
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
Hallo h,

ich nehme an, es geht hier um (gerichtete) Wurzelbäume. Anders kann ich mir den Begriff Ausgangsgrad nicht erklären. Und ja, wenn da steht \(\leq b\), dann heißt das, dass der maximale Ausgangsgrad \(\leq b\) ist.

Dein Induktionsbeweis hinkt noch gewaltig. Beachte etwa, dass bei der IV das x nicht gleich b^s zu sein braucht. Entsprechend im IS, wo x auch kleiner als b^(s+1) sein kann.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wirkungsquantum
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 466
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
Hallo,
ja gerichtete Bäume meinte ich, ich werds im Startpost korrigieren.

Oh ach so, das liegt dann wohl daran das b nur der maximale Ausgangsgrad ist oder?
Grüße,
h


-----------------
$h=6,626⋅10^{-34} Js$
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4196
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-20


Vielleicht solltest du dir zunächst mal die Aussage, die du beweisen sollst anhand einiger nummerischer Beispiele verdeutlichen.

Nimm z. B. b = s = 3. Wähle dann x aus {1, 2, ..., 27}, etwa x = 20.

Dann wird behauptet, dass es einen Baum mit 20 Blättern und höchstens 13 inneren Ecken gibt.

Das ist erst einmal nicht so schwer:
Nimm eine Wurzel und hänge da 20 Blätter dran. Dieser Baum hat nur eine innere Ecke, nämlich die Wurzel.

Jetzt soll aber jede Ecke einen Ausgangsgrad von höchstens 3 haben. Das ist hier nicht erfüllt; denn die Wurzel hat einen Ausgangsgrad von 20.

Wie müsste solch ein Baum also aussehen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wirkungsquantum
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 466
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
Ach so, verstehe.
Hm könnte man vielleicht zuerst einen Baum mit $3^2=9$ Blätter konstruieren und an die ersten 4 Blätter jeweils mit 3 neuen Blätter verbinden (dann hat man 12 Blätter) und die restlichen 4 mit jeweils 2 Blättern (dann hat man insgesamt 20 Blätter).
Die Zahl der inneren Knoten wäre dann genau 12.


-----------------
$h=6,626⋅10^{-34} Js$
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4196
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-20


Klappt so noch nicht. Wenn du von den 9 Blättern 4 mit je 4 neuen Blättern versorgst, verbleiben nicht 4, sondern 5.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wirkungsquantum
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 466
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
Oh, hab mich glatt verrechnet...

So müsste das dann aufgehen:



-----------------
$h=6,626⋅10^{-34} Js$
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wirkungsquantum hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]