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  Magnetisches Feld, Spule, Biot-Savart |
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Sito
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 05.11.2016
Mitteilungen: 229
 |  Themenstart: 2018-03-22
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Guten Abend zusammen,
sei folgende Aufgabe gegeben:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46753_coil_biot.savart.PNG
Die Aufgabe wurde hier schon zum Teil angesprochen, aber da der Thread schon über 10 Jahre alt ist und ich nicht wirklich verstehe was murphy dort gemacht hat, hier meine Frage.
Mein Ansatz war Biot-Savart und zwar folgendermassen:
\(\begin{align}\vec{B}_z(\vec{r})=\frac{k I}{c}\int_{\gamma}\frac{d\vec{l}\wedge (\vec{r}-\vec{y})}{|\vec{r}-\vec{y}|^3}=\frac{k }{c}\int_{V}\frac{\vec{j}(\vec{y})\wedge (\vec{r}-\vec{y})}{|\vec{r}-\vec{y}|^3}d^3y\end{align}\)
Da in unserem Fall \(r_1=r_2=0\) sind kann das Feld nur von \(r_3\) abhängen:
\(\begin{align}\vec{B}_z(r_3)&=\left(\frac{k}{c}\int_{V}\frac{\vec{j}(\vec{y})\wedge (-y_1,-y_2,r_3-y_3)^T}{(y_1^2+y_2^2+(r_3-y_3)^2)^{3/2}}d^3y\right)_z\\
&= \frac{k}{c}\int_{V}\frac{j_y(\vec{y})y_1 -j_x(\vec{y})y_2}{(y_1^2+y_2^2+(r_3-y_3)^2)^{3/2}}d^3y\end{align}\)
Aus geometrischen Überlegungen folgt \(\vec{j}(\vec{y})=\frac{j}{\sqrt{y_1^2+y_2^2}} (-y_2,y_1)^T\) und somit
\(\begin{align}\vec{B}_z(r_3)&=\frac{k}{c}\int_{V}\frac{j_y(\vec{y})y_1 -j_x(\vec{y})y_2}{(y_1^2+y_2^2+(r_3-y_3)^2)^{3/2}}d^3y \\
&= \frac{kj}{c}\int_{V}\frac{\left(\frac{y_1^2+y_2^2}{\sqrt{y_1^2+y_2^2}}\right)}{(y_1^2+y_2^2+(r_3-y_3)^2)^{3/2}}d^3y\\
&=\frac{kj}{c}\int_{V}\frac{\sqrt{y_1^2+y_2^2}}{(y_1^2+y_2^2+(r_3-y_3)^2)^{3/2}}d^3y \\ &\overset{(*)}{=} \frac{kj}{c}\int_{-L/2}^{L/2}\int_0^{2\pi}\int_{R_1}^{R_2}\frac{r^2drd\varphi dz}{\sqrt{r^2+(r_3-z)^2}^3} \end{align}\)
und hier hänge ich ein bisschen fest... Besonder nerven tut mich die Gleichung \((*)\), insbesondere hier das Integral über den Radius. Die Idee war es hier von allgemeinen Koordinaten zu Zylinderkoordinaten zu wechseln. Das Problem ist nun, dass dabei immer noch über ein Volumen integriert wird, aber die Spule theoretisch unendlich dünn ist, was genau passiert also beim Integral über \(dr\)? Kann ich hier vlt. mit einer \(\delta\)-Funktion etwas machen?
Ansonsten würde mich natürlich interessieren ob mein Ansatz bisher so funktioniert?
Wäre dankbar für etwas Hilfe.
Gruss Sito
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Spock
Senior 
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8273
Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-23
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Hallo Sito!
Du machst es Dir unnötig schwer. Für dünne Leiter läßt sich das Volumenintegral im allgemeinen Biot-Savart direkt in ein Linienintegral umwandeln, schau mal hier
Gruß
Juergen
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Sito
Wenig Aktiv
Dabei seit: 05.11.2016
Mitteilungen: 229
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-24
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Hallo Juergen,
\quoteon(2018-03-23 06:52 - Spock in Beitrag No. 1)
Für dünne Leiter läßt sich das Volumenintegral im allgemeinen Biot-Savart direkt in ein Linienintegral umwandeln
\quoteoff
Damit meinst du in \((1)\) das erste Integral, oder? Leider verstehe ich dort nicht so recht wie ich ich \(d\vec{l}\) beschreiben soll, bzw. wie ich es in eine Form bekomme mit der ich anständig rechnen kann (das war auch der Grund wieso ich auf die Stromdichte ausgewichen bin). Wäre also schön wenn du mir hier etwas helfen könntest.
Mich würde natürlich auch noch interessieren ob mein Weg über die Stromdichte auch funktioniert und wie man das im Fall von dünnen Leitern lösen kann, auch wenn es vlt. nicht der ideale Ansatz ist...
Gruss Sito
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Sito hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sito hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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