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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » konkret erzeugende Pfeile in Vektorräumen
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Universität/Hochschule konkret erzeugende Pfeile in Vektorräumen
Nighel123
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  Themenstart: 2018-03-30

Hi, in dem Kategorientheorie Buch http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf , das ich gerade lese, steht, dass konkret erzeugende Pfeile mit dem herkömmlichen Konzept von Erzeugung in Vektorräumen übereinstimmt S.138f. Ich habe auch gezeigt, dass die Familie (fx)x in X für einen erzeugenden strukturiertem Pfeil (f,V) mit Definitionsberiech X ein Erzeugendensystem von V ist. Aber was ändert sich nun wenn ich (f,V) als konkret erzeugend voraussetze? Bedeutet das dann das die Familie (fx) linear unabhängig ist? Hier einmal mein Beweis dafür, dass die Famiele ein Erzeugendensystem ist: http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36208_633DAC3B-DFF8-41D2-AEE3-49003DD37BB1.png Aber wenn ich versuche zu zeigen, dass die Familie linear unabhängig ist bekomm ich das nicht hin... http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36208_DABDE306-466A-4532-B910-1D968B7FF37B.png


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-30

Du wirst die lineare Unabhängigkeit nicht zeigen können. Monomorphismen sind bei Vektorräumen schon gespalten und daher Einbettungen. Es gibt also keinen Unterschied zwischen den beiden Erzeugungsbegriffen.


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Nighel123
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-03

Ja das hab ich dann auch gemerkt :) Danke! Aber „universal arrows“ bzw. „free objects“ wie sie auf Seite 140 definiert werden stimmen in Vektorräumen mit Basen überein! Wenn man sich universelle Pfeile in der Kategorie aller topologischen Räume und stetigen Funktionen anguckt, dann kommt allerdings verblüffenderweise nicht der Begriff der Basis einer Topologie zum Vorschein, sondern der des diskreten topologischen Raumes. Was hat der denn in dem Fall mit einer Basis zu tun? Gibt es auch einen adäquaten kategoriellen Begriff zum topologischen Begriff einer Basis eines topologischen Raumes?


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-03

Umgekehrt: Es wäre verblüffend, wenn das Konzept eines universellen Pfeiles etwas mit Basen von topologischen Räumen zu tun hatte. Denn eine Basis sagt uns nicht, wie man stetige Abbildungen definieren kann, sondern lediglich, dass man die Stetigkeit einer bereits gegebenen Mengenabbildung nur bezüglich der basis-offenen Mengen testen muss. Außerdem sind Basen dadurch definiert, dass jede offene Menge irgendeine Vereinigung von basis-offenen Mengen ist, d.h. die Eindeutigkeit fehlt vollkommen, und man hat es vielmehr mit einer Art Erzeugendensystem zu tun. Genauer gesagt wird der sup-Verband der offenen Teilmengen von den basis-offenen Mengen im üblichen Sinne der universellen Algebra erzeugt; das ist nur eine Umformulierung der Definition. Die Bezeichnung der Basis eines topologischen Raumes ist historisch entstanden und soll keinen engen Zusammenhang zu Basen von Vektorräumen andeuten. Bei Exponenten und Logarithmen spricht man auch von Basen, trotzdem hat man dabei keine universelle Eigenschaft im Sinn.


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