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Moderiert von Ueli rlk
Physik » Elektrodynamik » Kapazitätskonstanten
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Universität/Hochschule J Kapazitätskonstanten
Sito
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  Themenstart: 2018-04-03

Guten Abend zusammen, ich habe mit zwei Umformungen in einer Herleitung ein Problem. Da die Aufgabenbeschreibung recht lang wäre füge ich hier einfach mal ein Bild ein, ich hoffe das passt so. http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46753_kapazitatskonstanten-min.PNG Das erste Problem wäre Gleichung \((1.7.31)\), bzw. wie kommt man auf die Gleichung \(\begin{align} \frac{1}{8\pi k} \int_V d^3x (\nabla \Phi)^2 =\frac{1}{2} \sum\limits_{i,j=1}^N V_iV_jC_{ij} \end{align}\) Ich habe es natürlich mit Einsetzen von Gleichung \((1.7.30)\) versucht, aber leider kommt da nur Stuss raus... Vergleiche ich nun weiter die zwei verschiedenen Formen für \(C_{ij}\) so scheint die Identität \(\begin{align}\nabla\Phi_i\cdot\nabla\Phi_j = \nabla\cdot (\Phi_i\nabla\Phi_j)\end{align}\) zu gelten. Allgemein konnte ich das leider weder zeigen, noch in Büchern finden.. Also scheint es wohl nur im Integral zu funktionieren, aber auch hier wollte der Beweis nicht so recht klappen, aber liege ich hier wenigstens mit der Idee Erste Green'sche Identität richtig? Besten Dank schon Mal für die Hilfe! Gruss Sito

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wladimir_1989
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-04

Hallo Sito, zur ersten Frage, du musst nur den Term \(\left(\nabla\sum_{j=1}^NV_j\Phi_j(x)\right)^2\) ausmultiplizieren. Beachte, dabei, dass \(V_i\) konstant sind und für eine Summe allgmemein gilt \(\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2=\sum_{i,j=1}^na_ia_j\). Beachte, dass wir hier eine Doppelsumme mit zwei verschiedenen Indices haben. Zur zweiten Frage: Wir haben \(\Delta \Phi_i(x)=0,\ \forall i\). Benutze das zusammen mit der Produkregel. Integralidentitäten benötigt man hierfür nicht. lg Wladimir

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