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 Hamiltonfunktion für Coulomb-Wechselwirkung und ext. Potential |
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Scomrxl
Neu 
Dabei seit: 07.04.2018
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2018-04-08
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Ein herzliches Hi an alle,
ich würde mich sehr über Hilfestellung zu folgender Elektrodynamikaufgabe freuen, die man sicherlich auch unter Mechanik einordnen könnte. Hier erstmal die Aufgabenstellung und was ich bisher habe:
N identische Teilchen der Ladung q und Masse m befinden sich in einem externen Potential U(r)=1/2*m\omega^2 r^2 , r^2= x^2+y^2+z^2
und wechselwirken miteinander über das Coulombgesetz.
i)Finden Sie die Hamiltonfunktion des Systems.
ii) Finden Sie die stabile Position der Teilchen für die Fälle N=1,2,3,4, wenn ihre kin. Energie gleich Null ist. Hinweis: die stabile Position eines Teilchens ist durch das Verschwinden der Gesamtkraft bestimmt.
iii) Diskutieren Sie die Symmetrie der Hamiltonfunktion.
Soviel zur Aufgabe. Das habe ich bisher:
Zu i)
Zunächst L=T-V aufgestellt. Dabei ist
T=sum(m/2 r^*_i^2,i=1,N)
Die potentielle Energie müsste durch die Wirkung des Potentials und die Wechselwirkung zwischen den N Teilchen gegeben sein:
V=sum(1/2 m\omega^2 r_i^2,i=1,N) + sum(sum(q^2/4\pi\epsilon_0(r_i-r_j),i=1,N),j=1,N) für i!=j
Auf den zweiten Summanden kommen ich durch
\phi2=E_pot/q
Denn das Coulombpotential ist ja gegeben durch
\phi2(r^>) = q/ (4\pi\epsilon_0 r)
Und Dann muss man ja für jedes Teilchen jede Wirkung mit einbeziehen.
Bin ich bis hier richtig ? Habe nämlich Probleme von der Lagrangefunktion dann auf die Hamiltonfunktion zu kommen.
Bei ii) würde ich das Kraftfeld das sich aus U resultiert berechnen und das mit der Coulombpkraft zwischen den Teilchen gleichsetzen. Ist das die richtige Herangehensweise? Und wie verfahre ich dann für N=1 ?
Bei iii) glaube ich man soll schauen ob H=T+V gilt?
Ich freue mich über jede Hilfe!
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Euler2
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| Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-08
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Hallo Scomrxl,
1) Die elektrische Energie ist bei dir um den Faktor 2 zu groß. Der Vorfaktor müsste sein \( \frac{1}{8\pi\epsilon}\).
Der Grund dafür ist, dass du ausgehst, dass du ein Gesamtpotential \(\phi_g\) hast und dort nacheinander die Punktladungen hinbringst. Dies ist aber nicht richtig, die Punktladungen erzeugen das Potential! Wenn du die zweite Punktladung an ihren Ort bringst sieht sie nicht das Gesamtpotential, sondern nur das, der ersten Punktladung.
Bei der Hamilton-Funktion kannst du dein Tipp 3 ausnutzen und sagen \(H=T+V\), wobei du noch \( \dot {\vec{r_i}} \) durch \(\vec{p_i}\) ersetzen musst.
2) Ja ist richtig, einfach die Kraft ausrechnen und \(F_{ges}=0\) also \(F_U + F_Q = 0\), wobei \(F_U\) die Kraft von dem Potential U ist und die andere die Couloumb-Kraft.
Falls du nur eine Ladung hast ist \(F_{ges} = F_U = 0\) also \( r=0\).
Dies ist ja auch das Zentrifugalpotential und es wirkt nur keine Zentrifugalkraft im Ursprung der Drehung
3) Ja ich denke du sollst nach Symmetrien (Alle Energiebeiträge der Teilchen haben die gleiche Form) und daraus entsprechenen Erhaltungsgrößen suchen. Es gilt garantiert Energie und Drehimpulserhaltung des Gesamtsystems.
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Scomrxl
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Dabei seit: 07.04.2018
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-08
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Vielen Dank für die Antwort Euler2. Zumindest weiß ich jetzt, dass mein Kurs der richtige zu sein scheint. Trotzdem hätte ich zu i) noch eine Verständnisfrage:
Wenn ich beispielsweise zwei Punktladungen im System habe dann ist das gesamte Potential doch die Summe aus den beiden Potentialen der beiden Punktladungen oder nicht? Denn beide erzeugen doch ein eigenes Potential, was auf die jeweils andere Ladung wirkt. Damit hätte man im Fall N=2 2 Summanden, für N=3 6 und für N=4 8 Summanden. Damit wäre der von dir angesprochene Faktor 1/2 hinfällig. Wo ist mein Denkfehler?
MfG
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Euler2
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| Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-08
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Hallo Scomrxl,
Ja die Potentiale addieren sich auch sind linear.
Mein Punkt war, dass die Energie die eine Punktladung bekommt, wenn man sie vom unendlichen zu den Ort \(\vec{r}\) bringt im Allgemeinen nicht vom Gesamtpotential stammt.
Bei deiner Argumentation mit für N=2 bekommst du 2 Summanden versteh ich nicht. Die Energie zwischen zwei Punktladungen ist ja nur der Term \(U=\frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon}\cdot \frac{1}{|r_1-r_2|}\) also nur ein Term.
Vielleicht meinst du die zwei Punktladungen erzeugen ein Potential von \[\phi_2(\vec r) = \frac{Q_1}{4\pi\epsilon}\cdot \frac{1}{|\vec r-\vec r_1|} + \frac{Q_2}{4\pi\epsilon}\cdot \frac{1}{|\vec r-\vec r_2|}\]
und multiplizierst jetzt einfach \(Q_2\) für die Energie? Die zweite Punktladung bewegt sich dann aber nicht in \(\phi_2\) sondern im Potential \(\phi_1 = \frac{Q_1}{4\pi\epsilon}\cdot \frac{1}{|r-\vec r_1|} \) sie spürt ja nicht ihr eigenes elektrisches Feld. Ansonsten hättest du bei einer Punktladung alleine Kräfte auf die einzelne Punktladung, obwohl keine andere Ladung da wäre.
Herleitung:
Wir bezeichnen einfach mit \(U_N\) die Energie der N-ten Punktladung und mit \(\phi(r_{i,j}) = \frac{Q_j}{4\pi\epsilon}\cdot \frac{1}{|\vec r_i - \vec r_j}|\), das Potential an der Stelle des \( \vec r_i\) Teilchen, welche vom Teilchen \(\vec r_j\) verursacht wird
Wir ermitteln die Energie indem wir n-Punktladungen schrittweise vom Unendlichen auf ihre Position bringen und dann alle Energie beiträge addieren.
n=1: U=0 Erstes Teilchen auf Position \(\vec r_1\)
n=2: \(U_1 = Q_2\phi(2,1) \) zweites Teilchen auf Position \(r_2\) im Potential \(r_1\)
n=3: \(U_3= Q_3(\phi(3,1)+\phi(3,2))\)
.
n=N: \(U_N = Q_N(\phi(N,1)+ \phi(N,2) + ... + \phi(N,N-1))\)
Also \[U_{ges} = \sum_ {i=1} ^{n} U_i = \sum_{i=1} ^{N} \sum_{j=1} ^{i-1} Q_i \phi(i,j) = 0.5 \sum_{i=1} ^{N} \sum_{j=1}^{N} ... \]
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