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Universität/Hochschule Eigenschaften einer Algebra
Ueberdeckungspro
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  Themenstart: 2018-04-10

Hallo! Ich versuche gerade folgende \(K\)-Algebra \(A\) zu verstehen (für einen beliebigen Körper \(K\)). Eine Basis ist gegeben durch \(\{1,a,b,c\}\), wobei \(a^2=a, ab=b\) ist, jedes andere Produkt von zwei Basiselementen ungleich \(1\) ist 0. Zuerst einmal wollen wir das Zentrum von \(A\) bestimmen. Ich vermute selbiges ist aufgrund der obigen Relationen das Erzeugnis von \(1\) und \(c\). Als nächstes interessieren mich die (primitiven) idempotenten Elemente. Ich vermute \(\{1, a+xb, 1-a-xb\}\) für einen beliebigen Skalar \(x\) alle idempotenten Elemente sind. Da \(c\) von allem außer 1 annihiliert wird, kann es nicht in einer Kombination die ein idempotentes Element definiert vorkommen. 1 ist offensichtlich nicht primitiv. Alle anderen idempotnten Elemente sollten dies dann aber sein. Sind meine Überlegungen soweit korrekt?


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Ueberdeckungspro
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-12

Okay, ich habe mal noch versucht mehrere Eigenschaften herauszufinden (bitte schreitet ein wenn irgendwo was schief läuft). Als nächstes interessiert mich eine composition series von \(A\) als \(A\)-Modul. Wir haben \(A > \{1,a,b\} > \{1,a\} > 1\). Die einfachen Moduln sind damit die Erzeugnisse von \(a, b\) und \(c\). Das Jacobson-Radikal sollte das Erzeugnis von \(\{b,c\}\) sein. \(A\) kann nicht lokal sein (nicht-triviale idempotente Elemente); \(A\) kann nicht halbeinfach sein (Jacobson nicht trivial); \(A\) kann insbesondere nicht einfach sein.


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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2018-04-12

Das mit dem Zentrum habe ich mal nachgerechnet. Im Prinzip würdest du es uns viel einfacher machen, wenn du auch die Beweise deiner Aussagen posten würdest. "kann nicht vorkommen" ist bei Vektorräumen üblicherweise kein vollständiges Argument. Die Notation A > {1,a,b} > {1,a} > 1 verstehe ich nicht. Fehlen hier Erzeugnisse? Erzeugnisse meinst du immer in Bezug auf Vektorräume?


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Ueberdeckungspro
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-12

Ja sorry, meinte die Erzeugnisse in der Series. Mit Erzeugnis meine ich die davon erzeugten Moduln. Auf besagtes Jacobson-Radikal komme ich, da dies ja gleich dem Schnitt über die Annihilatoren aller einfachen Moduln ist.


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Kerlaz
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  Beitrag No.4, eingetragen 2018-04-13

Ich meine es gibt eine Bijektion zwischen den einfachen Moduln von \(A\) und von \(A/J\), was bei Dir ja nicht der Fall ist. (mit \(J\) meine ich das Jacobson-Radikal) Wo dein Fehler liegt kann ich Dir aber leider auch nicht sagen. Hoffe jemand anders kann uns erhellen.


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-13

\quoteon(2018-04-12 21:28 - Ueberdeckungspro in Beitrag No. 3) Ja sorry, meinte die Erzeugnisse in der Series. Mit Erzeugnis meine ich die davon erzeugten Moduln. \quoteoff Dann ist aber $\langle 1 \rangle = A$. Bitte schreibe genauer, was du meinst, und wenn möglich auch gleich mit Beweisen. Das lässt sich dann leichter überprüfen.


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Ueberdeckungspro
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-13

Sorry für meine Ungenauigkeiten. Ich versuche es nochmal mit der composition series und versuche dabei jede Überlegung genau zu erklären. Wenn wir \(A\) als \(A\)-Modul auffassen, sind Untermoduln das gleiche wie Linksideale. \(\langle b \rangle\) ist ein Linksideal von \(A\), denn \(ab=b, cb=0\). Genauso ist \(ba=0, ca=0\) und \(ac=0, bc=0\). Somit erhalten wir eine Kette von Linksidealen wie folgt: \(A > \langle a,b,c \rangle > \langle a,b \rangle > \langle b \rangle > 0\). Jetzt muss man sich überlegen, ob die jeweiligen Quotienten einfach sind. Ich würde sagen, dies sollte für \(\langle a \rangle, \langle b \rangle, \langle c \rangle\) der Fall sein, ansonsten sollten diese ja nicht-triviale Untermoduln haben, aber ein stichfestes exaktes Argument kann ich jetzt nicht formulieren. Was den Modul \(A/\langle a,b,c \rangle\) angeht, weiß ich nicht so recht. Jedenfalls können die einfachen Moduln nicht nur die drei der obigen Form sein, aufgrund von Kerlaz' Argument.


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Triceratops
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  Beitrag No.7, eingetragen 2018-04-13

$\langle b \rangle$ ist per Definition ein Linksideal, weil du gesagt hast, dass Erzeugnisse sich auf Moduln beziehen. Du meinst vermutlich doch Vektorraum-Erzeugnisse.


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Ueberdeckungspro
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-13

Also ich will eine Composition series von \(A\), wobei ich \(A\) als \(A\)-Modul auffasse, wobei \(A\) durch die Multiplikation in \(A\) auf \((A,+)\) operiert. Aber Untermoduln dieses Moduls sind doch genau die Linksideale von \(A\)? Also sollten die Erzeugnisse in der Series von der Form \(\langle \cdot \rangle_{\mathbb{F}}\) sein?


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Ueberdeckungspro
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-13

Habe mal noch weiter überlegt. Falls die Series von oben korrekt wäre. Dann wären also die einfachen Moduln von \(A\) (bis auf Isomorphie) \(\langle 1 \rangle_{\mathbb{F}}\), \(\langle a \rangle_{\mathbb{F}}\), \(\langle b \rangle_{\mathbb{F}}\) und \(\langle c \rangle_{\mathbb{F}}\). Das Jacobson-Radikal wäre demnach \(0\), da \(\langle 1 \rangle_{\mathbb{F}}\) von nichts nicht-trivialem annhiliert wird. Dies würde auch das Argument von Kerlaz nicht verletzen. Habe aber trotzdem irgendwie kein gutes Gefühl bei diesen Überlegungen..


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