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| Autor |
 Intervall in A-A |
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AndiH
Junior 
Dabei seit: 13.04.2018
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2018-04-13
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Hallo,
ich habe folgendes Übungsbeispiel und komme nicht richtig weiter:
Es sei \(A\subset\mathbb{R}\) messbar und \(\mu(A)>0\). Weiters \(A-A=\{ x-y : x,y \in A \} \)
Man zeige, dass ein offenes Intervall I existiert, sodass \(I\subset A-A\).
Benutzen Sie im Beweis die Faltung.
Folgende Gedanken habe ich mir bereits gemacht:
-Es würde natürlich reichen, zu zeigen, dass A-A einen inneren Punkt enthält.
-Habe die Faltung von charakteristischen Funktionen von A, -A, A-A betrachtet, ohne viel Erfolg
-Die Faltung von A bzw A-A mit der charakteristischen Funktion auf \((-\epsilon,\epsilon)\)
Ich habe zwar ein ähnliches Bsp. schon im Forum entdeckt, da wurde aber ohne Faltung gearbeitet und es wurden stärkere Annahmen an A gemacht, soweit ich mich erinnern kann.
Bin leider noch nicht viel weitergekommen.
Vielleicht hat jemand eine Idee
LG
Andi
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Ex_Senior
|  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-13
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Hallo,
nimm o.E. an, dass $\mu(A)<\infty$ (damit die Faltung auf jeden Fall wohldefiniert ist).
betrachte $f = \chi_A\ast\chi_{-A}$. Zeige, dass $f(0)>0$ und nutze, dass $f$ stetig ist. Schau dir an, was du aus $f(x)>0$ für $x$ schließen kannst.
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AndiH
Junior
Dabei seit: 13.04.2018
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-13
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Hi,
danke für die Antwort.
So weit war ich auch schon, sehe aber nicht ein, warum die Faltung dieser Funktionen stetig sein sollte??
LG
Andi
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-13
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Faltungen von $L^1$- mit $L^\infty$-Funktionen sind immer stetig. Der Beweis geht mit der Hölderungleichung und benutzt, dass der Linksshift auf $L^1$ stark stetig ist(das bedeutet, dass die Abbildung $\mathbb R\to L^1, y\mapsto \lambda_yf$ für jedes $f\in L^1$ stetig ist, wobei $\lambda_y f(x) = f(x-y)$ der Linksshift von $f$ um $y$ sei).
Wenn du dies nicht benutzen darfst, dann zeige es vorher selbst.
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AndiH
Junior
Dabei seit: 13.04.2018
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-14
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Danke für die schnellen Antworten, habs hingekriegt.
LG
Andi
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