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  Alternatives Maximumsprinzip mit Gebietstreue |
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kchnkrml
Junior 
Dabei seit: 07.04.2018
Mitteilungen: 10
 |  Themenstart: 2018-04-22
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Ich hänge leider, wieder einmal, bei einem Bsp. in Komplexer Analysis:
Sei f auf dem Gebiet G holomorph und stetig auch am Rand. Zu zeigen ist, dass \(g(f) := (Re f)^4 + (Im f)^4\) seine Maxima am Rand annimmt.
Nun ist mir klar, dass g als stetige Funktion auf dem Abschluss ihr Maximum annehmen muss. Ist f konstant ist die Aussage sofort erfüllt. Ist f nicht konstant, so weiß ich aus dem Satz der Gebietstreue, dass f(G) ein Gebiet ist. Soweit so gut. Nun müsste ich - analog zum Maximumsprinzip - zeigen, dass ein Maximum von g (das nicht am Rand von G liegt) dieser Gebietstreue widerspricht.
Hätte ich jetzt Exponent 2 statt 4 wäre mir das klar, das entspricht ja dann dem Betragsquadrat. Aber aus \(g(z)\leq g(z_0)\) folgt nicht \(|f(z)| \leq |f(z_0)|\) und somit auch (noch) kein für mich ersichtlicher Widerspruch zur Gebietstreue.
Wäre um einen Tipp in welche Richtung ich da weiterdenken sollte sehr dankbar!
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9726
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-22
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Hallo, kchnkrml,
Wenn man keine Idee hat, ist es oft hilfreich, die letzten Seiten der zugehörigen Vorlesung durchzublättern und sich zu fragen, wozu die Aufgabe passen könnte.
Wally
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kchnkrml
Junior
Dabei seit: 07.04.2018
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-22
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Lieber Wally,
da findet sich bei mir der Identitätssatz, danach Gebietstreue und das Maximumsprinzip. Davor ist nur das Kapitel über Nullstellen holomorpher Funktionen.
Übersehe ich bei den drei Sätzen etwas, oder hast du etwas ganz anderes gemeint?!
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9726
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-22
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Ich habe keine Ahnung, wie die Lösung aussieht - aber jetzt sind wenigstens die Werkzeuge klar, die man benutzen kann oder soll.
Wally
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kchnkrml
Junior
Dabei seit: 07.04.2018
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-23
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Dass ich Gebietstreue und den Beweis des Maximumsprinzips verwenden soll, war mir - wie man an meinem ersten Post schon sieht - denke ich klar. Ich hab jetzt nochmal alle Beweise und Randbemerkungen gewälzt und nichts spezielles gefunden, was mir beim Exponenten 4 hilft statt bei Exponent 2 (was ja der Fall wäre beim Betragsmaximum).
Hat vllt. noch jemand eine Idee? :-?
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Ex_Senior
| Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-23
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Kennst du das Maximumsprinzip für (reellwertige) subharmonische Funktionen?
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kchnkrml hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
kchnkrml hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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