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  geordnete Tupel |
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Moonie123
Senior 
Dabei seit: 27.10.2002
Mitteilungen: 413
Wohnort: Hof
 |  Themenstart: 2002-10-29
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Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe, in der ich die Äquivalenz von
(A,B) = (C,D) <=> A = C und B = D
zeigen soll.
Mal ganz abgesehen von dem Beweis, ist das geordnete Paar hier definiert durch
(A,B) := {{A},{A,B}}
Unter dieser Definition kann ich mir ehrlich gesagt, überhaupt nichts vorstellen. Gibt es eine Möglichkeit, das irgendwie anders zu schreiben und/oder eine Erklärung, was diese Schreibweise bedeuten soll?
Mit {A,B} = {A} U {B} komme ich da nicht so recht klar.
Danke schon mal.
Grüße,
Moonie123 8-)
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Martin
Senior 
Dabei seit: 28.10.2002
Mitteilungen: 806
Wohnort: Österreich
 | Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-29
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Hi Moonie!
Bei Tupeln spielt im Gegensatz zu Mengen die Anordnung eine Rolle.
Dh. (A,B) ist nicht gleich (B,A).
Wenn wir das nach der Definition aufschreiben, sehen wir:
(A,B) := {{A},{A,B}}
(B,A) := {{B}, {A,B}}.
Das erste Element im Tupel ist auch in einer Menge, die nur ein Element enthält, während das 2. Element im Tupel in einer Menge liegt, die 2 Elemente besitzt aber in keiner mit geringere Elementanzahl.
So würde ich es zumindest erklären.
Die Def. gilt nur für Paare?
mfg
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin am 2002-10-29 19:30 ]
[ Nachricht wurde editiert von Martin am 2002-10-29 19:45 ]
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14588
Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2002-10-29
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Wunderbare Idee den Begriff Tupel so zu definieren. Damit wird alles auf Mengentheorie zurückgeführt, auch der Reihenfolgebegriff.
Tipp zur Lösung: 2 Mengen sind gleich, wenn sie die gleiche Elemente enthalten.
@Martin: in dieser Art kann man natürlich auch Tripel usw. definieren.
Gruß
Matroid
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Martin
Senior
Dabei seit: 28.10.2002
Mitteilungen: 806
Wohnort: Österreich
| Beitrag No.3, eingetragen 2002-10-29
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Hi Matroid!
Wie würde das aussehen?
Beispiel: (A,B,C) :={{A},{A,B},{A,B,C}}
Jetzt kann ein Tripel zB. auch so aussehen:
(A,A,B).
Das wäre noch kein Problem: {{A},{A},{A,B}}
aber:
(A,B,A) := {{A},{A,B},{A,B}} ... (unterscheidet sich immer noch von (A,A,B) ...)
(B,A,A) :={{B},{A,B},{A,B}}
... Es scheint gut zu gehen ...
(A,B,B) := {{A},{A,B},{A,B}}
... Danach wäre (A,B,B) = (A,B,A)!
Wo ist der Fehler bzw. wie geht's richtig?
mfg
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin am 2002-10-29 21:59 ]
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Moonie123
Senior
Dabei seit: 27.10.2002
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Wohnort: Hof
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-29
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Hallo,
@matroid:
Ich muß ganz ehrlich sagen, ich finde das momentan alles gar nicht so cool... *seufz* Im Prinzip ist es ja schon sehr interessant, alles incl der Zahlen axiomatisch aus Klassen herzuleiten, aber irgendwie geht da dann so langsam die Vorstellung flöten (zumindest bei mir).
Naja, werde mich dann morgen mal mit diesem Beweis befassen, vielleicht kommt mir dabei dann auch eine Idee, wieso die Definition für Klassen nicht geeignet ist. 
Jetzt weiß ich ja endlich, wie die Definition zu verstehen ist. 
Grüße,
Moonie123
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Ende
Senior
Dabei seit: 15.03.2002
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Wohnort: Kiel, Ostsee
 | Beitrag No.5, eingetragen 2002-10-29
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Ich habe die Tupeleinfuehrung auch mal auf diese Weise mitgemacht. Das ist schon eine Weile her, aber ich glaube mich zu erinnern, dass die konsequente Weiterfuehrung des Prinzips war:
(a, b, c) = {{(a, b)}, {a, b, c}},
(a, b, c, d) = {{(a, b, c)}, {a, b, c, d}}, usw.
Gruss, E. 
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matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
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Wohnort: Solingen
| Beitrag No.6, eingetragen 2002-10-29
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Hi Moonie,
der Beweis geht so:
Behauptung: (A,B)=(C,D) => A=C Ù B=D.
Es ist nach Definition des Tupels:
(A,B) = {{A},{A,B}}
und
(C,D) = {{C},{C,D}}
Nach Voraussetzung ist
(A,B) = (C,D)
also
{{A},{A,B}} = {{C},{C,D}}
Nun sind 2 Mengen genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente haben.
Da die beiden Mengen gleich sind (nach Voraussetzung), müssen die Elemente gleich sein. Wir wissen aber (noch) nicht welche Elemente gleich sind.
Es gibt aber nur 2 Möglichkeiten, denn beide Mengen enthalten je nur 2 Elemente.
Entweder ist
1. Mögl.: {A} = {C} und {A,B} = {C,D}
oder
2. Mögl.: {A} = {C,D} und {C} = {A,B}
Gehen wir von der ersten Möglichkeit aus. Dann ist {A} = {C}, und da zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn sie die gleichen Elemente enthalten, folgt, daß A=C.
Weiter ist {C,D} = {A,B}. Wir wissen schon, daß A=C, also kann ich auch schreiben: {A,D} = {A,B}. Nun sind zwei Mengen genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Das Element A ist in beiden Mengen enthalten. Das jeweils andere Element ist D bzw. B. Da die Mengen gleich sind, muß B=D sein.
Die 1. Möglichkeit führt zur gewünschten Behauptung.
Nun betrachten wir die zweite Möglichkeit.
Danach ist {A} = {C,D}. Nun sind zwei Mengen genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten, und diese beiden Mengen enthalten nicht einmal gleich viele Elemente. Darum ist dieser Fall unmöglich.
qed.
Gruß
Matroid
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Moonie123
Senior
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Wohnort: Hof
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-30
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Hallo, Matroid!
Das hab ich genauso bewiesen. *freu*
Kannst Du mir vielleicht noch ein bißchen auf die Sprünge helfen, warum die Definition (a,b) = {{a},{a,b}} nicht für allgemeine Klassen geeignet ist?
Ich denke, weil a und b hier als Elemente einer Klasse vorkommen, insofern sind sie auf jeden Fall Mengen. Reicht das als Begründung?
Danke nochmal für den Beweis,
Grüße,
Moonie123
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matroid
Senior
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Wohnort: Solingen
|  Beitrag No.8, eingetragen 2002-10-31
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Was meinst Du mit allgemeine Klassen?
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Moonie123
Senior
Dabei seit: 27.10.2002
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-01
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@matroid
Wir haben in der Vorlesung Mengen aus Klassen hergeleitet. Dabei sind "Klassen" ein undefinierter Grundbegriff (ganz tolle Definition  ), und Mengen die Klassen, die als Elemente vorkommen.
Ich denke, mit "allgemeine Klassen" sind also Mengen und Unmengen gemeint.
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matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
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Wohnort: Solingen
|  Beitrag No.10, eingetragen 2002-11-01
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Das mit den Unmengen macht mir jetzt Unmengen von Unklarheiten.
Gruß
Matroid
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Moonie123
Senior
Dabei seit: 27.10.2002
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Wohnort: Hof
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-01
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Na, da bin ich ja beruhigt, daß ich nicht die einzige bin, der das etwas Kopfzerbrechen bereitet.
Ich laß mich halt mal überraschen, was da die Begründung sein sollte (spätestens Dienstag weiß ichs)
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