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 Integralfunktional |
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Aegon
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 204
 |  Themenstart: 2018-05-04
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Hallo,
ich soll folgendes zeigen:
Für $I(f) = \int\limits _{A} gf d \mu $ mit $g \in L^{\infty}, I: L^1 \rightarrow \mathbb{K}$
und mit der Bedingung, dass jede Teilmenge von A mit unendlichem Maß eine Teilmenge mit endlichem Maß $\neq 0$ besitzt gilt:
$\vert \vert I \vert \vert = \vert \vert g \vert \vert$
wobei hier bei $I$ die Operatornorm gemeint ist.
Ich habe bisher $\leq$ und versuche nun zu zeigen, dass gilt:
$\sup\limits_{\vert \vert f \vert \vert =1} \left \vert \int\limits_{A} f \dfrac{g}{ess sup \vert g \vert } d \mu \right \vert \geq 1$
Bisher habe ich mir zum Hinweis nur überlegt, dass ich so eine Vereinigung von Mengen mit endlichem Maß bilden kann, die A ergibt und so auch das Integral aufteilen kann... Hat jemand einen Hinweis?
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Ex_Senior
| Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-04
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Hallo,
falls $g\neq 0$ gibt es zu jedem $0t$ für alle $x\in B$. Versuch mit der Menge $B$ und der zusätzlichen Eigenschaft des Maßraums (die nennt man übrigens semi-finit) eine $L^1$ Funktion $f$ zu konstruieren mit $I(f)\geq t$.
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Aegon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 204
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-04
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Hallo,
wenn ich dann $B*$ als die Teilmenge von $B$ wähle (Existenz so eines B habe ich nachgewiesen), die endliches Maß hat $\neq 0$, also die Eigenschaft ausnutzend, kann ich $f$ wählen:
$f(x)= \dfrac{1}{\mu(B*)} \cdot \sigma(g(x))$ falls $x \in B*$ und $0$ sonst
Dies müsste fast überall stetig und mit Norm 1 sein, oder?
Ist das richtig so?
Dann kriege ich auch heraus, dass $\vert \vert I \vert \vert > t$ ist $\forall t < \vert \vert g \vert \vert$. Gilt dann schon $\vert \vert I \vert \vert \geq \vert \vert g \vert \vert$?
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-04
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fast überall stetig kannst du nicht erwarten. $g$ kann ja irgendwas sein, zum Beispiel auch nirgends stetig. Du brauchst aber doch auch gar keine Stetigkeit.
Ansonsten stimmt das so.
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Aegon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 204
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-04
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Hey,
ja und selbst wenn es stetig ist muss das was ich gesagt habe nicht stimmen..
Aber ich könnte auch einfach $B$ aufteilen in eine Menge $B_+$, wo
$g(x) > t$ und $B_-$ wo $-g(x)>t$, mindestens eine davon muss ein Maß ungleich 0 haben und demensprechend wähle ich das Vorzeichen bei $f$ fest, oder?
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Ex_Senior
| Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-04
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Nein könntest du nicht, weil $g$ überhaupt keine reellen Werte annehmen muss. Ich verstehe aber überhaupt nicht, was du hier mit Stetigkeit willst. Warum muss hier irgendwas stetig sein, das ist doch völlig egal.
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Aegon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 204
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-08
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Hey,
dann komme ich grade aber nicht wirklich darauf, wie ich das Integral abschätzen soll.
Ich kann ja die Betragsstriche nicht ins Integral reinziehen, weil ich ja nach unten abschätzen muss..
Beim Lebesgue Integral gilt ja: $a
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Ex_Senior
| Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-08
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So, wie du f definiert hast, ist der Integrand doch auch ohne Betragsstriche schon positiv!
Wofür sonst war denn das Signum in der Definition gedacht?
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Aegon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 204
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-08
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Aber ich hatte ja nicht bedacht, dass $g$ auch komplexwertig sein kann und dann ergibt das signum doch keinen Sinn, oder?
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Ex_Senior
| Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-08
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Für komplexe z ist $sgn(z) = \frac{z}{|z|}$ falls $z\neq 0$ und $sgn(0) = 0$. Mir fällt dabei gerade auf, dass du dann $\overline{sgn}$ brauchst, nicht das Signum selbst.
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Aegon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 204
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-08
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Ja stimmt, alles klar, vielen Dank!
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