Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Yoneda Paarung
Autor
Universität/Hochschule Yoneda Paarung
KarlRuprecht
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 212
  Themenstart: 2018-05-06

Guten Abend, hätte folgende Frage: Neulich bin ich auf das Konzept des Yoneda-Produkts (der Yoneda-Paarung) gestoßen. Seien dazu $M, N, L$ irgendwelche $R$-Moduln. YP liefert im wesentlichen die Existenz eines Morphismus zwischen $Ext$-Gruppen: $$\operatorname {Ext}^{n}(M,N)\otimes \operatorname {Ext}^{m}(L,M)\to \operatorname {Ext}^{{n+m}}(L,N)$$ Ich würde gerne wissen wie genau die Konstruktion erfolgt. Wir haben die $Ext$-Gruppen als derivierte Funktoren $Ext^n(A,-)$ zum Funktor $Hom(A,-)$ für ein fixes $R$-Modul $A$ eingeführt( allgemeiner aus einer abelschen Kategorie mit genügend injektiven Objekten). Für ein ein $R$-Modul $B$ haben wir $Ext^n(A,B)$ wie folgt bestimmt: Wähle zu $B$ eine injektive Auflösung $(I_i)_i$, d.h. $$0 \to B \to I_0 \to I_1 \to ...$$ exakt. Dies induziert offenkundig ein Komplex $$0 \to Hom(A,B) \to Hom(A,I_0) \to Hom(A,I_1) \to ...$$ Wir definieren $$Ext^n(A,B):= Ker (Hom(A,I_n) \to Hom(A,I_{n+1}))/Im(Hom(A,I_{n-1}) \to Hom(A,I_n))$$ Haben auch gezeigt, dass $Ext^n(A,B) $ unabh. von der Wahl der Auflösung sei. Allerdings ist mir nicht klar, wie ich mit dieser Konstruktion die Abbildung $$\operatorname {Ext}^{n}(M,N)\otimes \operatorname {Ext}^{m}(L,M)\to \operatorname {Ext}^{{n+m}}(L,N)$$ gewinnen kann. Wiki fasst Ext-Gruppen etwas anders auf (als Erweiterungsklassen). Da wirkt die Konstruktion recht plausibel. Weil beide Charakterisierung aber äquivalent sein sollen, wäre ich neugierig, wie man den Morphismus explizit aus der oben beschriebenen Konstruktion gewinnt.


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6469
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-06

Die Beschreibung mit projektiven Auflösungen zumindest (aber das lässt sich vermutlich abwandeln) steht als Aufgabe 2 auf Seite 91 in Mac Lane's Homology. PS: Am einfachsten lässt sich die Yoneda-Paarung in einer abelschen Kategorie $\mathcal{A}$ mit der derivierten Kategorie erklären. Hier haben wir nämlich einfach $\mathrm{Ext}^n(M,N) = \mathrm{Hom}_{D(\mathcal{A})}(M,N[n])$. Dies kann man sogar als Definition nehmen, wenn $\mathcal{A}$ nicht genügend Injektive besitzt. Aus $M \to N[n]$ und $L \to M[m]$ bekommt man einfach die Komposition $L \to M[m] \to N[n][m] = N[n+m]$ als Yoneda-Paarung.


   Profil
KarlRuprecht
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 212
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-06

Hi, danke für deine Antwort. Das mit der Identifizierung $\mathrm{Ext}^n(M,N) = \mathrm{Hom}_{D(\mathcal{A})}(M,N[n])$ ist natürlich elegant . Wird dies auch in Mac Lane ausführlich bewiesen? (die Konstruktion mit projektiven Auflösungen wird vermutlich mit Ext als derivierte Funktoren zu $Hom(-,A)$ eingeführt ... wobei mit dem Wort "dual" ich an dieser Stelle vorsichtig sein möchte, da genügend Projektive nicht heißt genügend Invektive und vice versa) Dumme Frage: Was ist $D(\mathcal{A})$? Könntest du vielleicht die Grundidee erläutern, wie $\mathrm{Ext}^n(M,N) = \mathrm{Hom}_{D(\mathcal{A})}(M,N[n])$ zustande kommt? Nebenbei bemerkt: Mit $N[n]$ ist der $n$-te Torsionsanteil gemeint?


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6469
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-06

Sicherheitshalber: Das "PS" ist nur als "PS" gedacht, die Stelle bei Mac Lane verwendet keine derivierte Kategorien. Zu deinen Fragen: $D(\mathcal{A})$ ist die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$. Sie besteht grob gesagt aus Kettenkomplexen in $\mathcal{A}$, wobei quasi-isomorphe Kettenkomplexe miteinander identifiziert werden. Die Morphismen sind nicht so einfach zu beschreiben, es gibt jedenfalls sehr viel mehr als nur Kettenabbildungen. Es handelt sich hierbei um eine triangulierte Kategorie (oder, je nach Definition, sogar um eine stabile $\infty$-Kategorie), die also zusammen mit einem Shift-Funktor $S : D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})$ kommt, der auf Niveau der Kettenkomplexe einfach die Verschiebung ist. Für $N \in \mathcal{A} \subseteq D(\mathcal{A})$ ist dann $N[n]$ der in Grad $-n$ konzentrierte Kettenkomplex mit $N$ in Grad $-n$.


   Profil
KarlRuprecht
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 212
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-07

Also ist $N[n]$ einfach eine Sequenz wo an Stelle -n eben $N$ steht, sonst Nullen? Danke für deine Ausführungen, aber offenbar gibts da für mich noch ein Paar zu viele unbekannte Begriffe. Könntest du etwas empfehlen, wo dieser Themenblock didaktisch besonders gut abgehandelt wird?


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6469
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-08

Hast du schon in Mac Lanes Buch, Homology, reingeschaut?


   Profil
kurtg
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1295
  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-08

Man findet es auch in Milnes Étale Cohomology auf Seite 167.


   Profil
KarlRuprecht hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]