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Funktionentheorie » Holomorphie » Riemann'scher Abbildungssatz
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Universität/Hochschule Riemann'scher Abbildungssatz
Malie
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.05.2018
Mitteilungen: 7
  Themenstart: 2018-05-14

Hallo Leute, ich bin neu hier und habe gleich mal eine Frage zum Riemann'schen Abbildungssatz. Dieser lautet ja: Es sei G eine Teilmenge von C ein einfach zusammenhängendes Gebiet, dessen Komplement bzgl. C mindestens zwei Punkte enthält. Dann gibt es eine biholomorphe Abbildung f von G auf den Einheitskreis D. Man kann vorschreiben, dass in einem Punkt z_0!=\inf in G die Bedingungen f(z_0)=0 und f'(z_0)>0 gelten sollen, dadurch ist f eindeutig bestimmt. Meine Frage ist jetzt, wozu ich die Bedingung f'(z_0)>0 benötige? Vielen Dank im Voraus, Mit freundlichen Grüßen, Malie


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kurtg
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Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1260
  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-14

Hi, sonst könnte man den Einheitskreis drehen.


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Malie
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.05.2018
Mitteilungen: 7
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-14

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Dann hätte ich dazu noch eine Frage... was würde passieren, wenn f'(z_0)<0 wäre?


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kurtg
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Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1260
  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-14

Das wäre eine Spiegelung.


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Malie
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.05.2018
Mitteilungen: 7
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-14

Okay. Auf die Gefahr hin, dass die Frage echt blöd ist... Woher weiß man das? Also, dass sonst der Einheitskreis gedreht wird?


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kurtg
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  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-15

Die Multiplikation mit einer Einheitswurzel ist eine Drehung der Einheitskreisscheibe.


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Ex_Senior
  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-15

Hallo Malie, hier kann man auch die etwas allgemeinere Frage betrachten: Wie kann man alle biholomorphen Abbildungen \(f:G\to\mathbb{E}\) beschreiben? Fall man eine biholomorphen Abbildungen \(f:G\to\mathbb{E}\) kennt, lassen sich die anderen mittels \(\text{Aut}(\mathbb{E})\) beschreiben, da für \(f,g:G\to\mathbb{E}\) biholomorph bereits \(f\circ g^{-1}\in\text{Aut}(\mathbb{E})\) gilt. \(\text{Aut}(\mathbb{E})\) selber läßt sich relativ einfach berechen, d.h. es sind bestimmte Möbiustransformationen.


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Malie
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.05.2018
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-17

Vielen Dank für eure Antworten. :) Mich würde noch interessieren, warum man nicht möchte, dass der einheitskreis sich dreht?


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kurtg
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.08.2008
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  Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-17

Wegen der Eindeutigkeit.


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