Die Mathe-Redaktion - 20.08.2018 13:02 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 429 Gäste und 21 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von John_Matrix PhysikRabe
Physik » Mathematische Physik » Wirkung eines relativistischen Punktteilchens
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Wirkung eines relativistischen Punktteilchens
Sito
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.11.2016
Mitteilungen: 213
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-17

\(\begingroup\)
Abend zusammen,

die Wirkung eines relativistischen Punktteilchens ist gegeben durch
\(\begin{align}S[u]=-mc\int_{\tau_1}^{\tau_2}d\tau~ \sqrt{-\eta_{\mu\nu}u^\mu u^\nu},\end{align}\)
wobei \(u^\mu \equiv \frac{\partial x^\mu}{\partial\tau}\). Es sollen nun die Bewegungsgleichungen mittels Variation bestimmt werden. Mein Vorgehen soweit
\(\begin{align}\delta S[u]&=\frac{d}{d \epsilon}S[u+\epsilon \delta u]\Big|_{\epsilon=0}\\
&= \frac{1}{2} mc\int_{\tau_1}^{\tau_2}d\tau~ \eta_{\mu\nu} \left.\frac{\delta u^\mu (u^\nu +\epsilon \delta u^\nu)+\delta u^\nu(u^\mu+\epsilon\delta u^\mu)}{\sqrt{-\eta_{\mu\nu} (u^\mu+\epsilon\delta u^\mu)(u^\nu+\epsilon\delta u^\nu)}}\right|_{\epsilon=0}\\
&= \frac{1}{2}mc \int_{\tau_1}^{\tau_2}d\tau~\eta_{\mu\nu}\frac{\delta u^\mu u^\nu + \delta u^\nu u^\mu}{\sqrt{-\eta_{\mu\nu} u^\mu u^\nu}}\\
&= \int_{\tau_1}^{\tau_2}\frac{mc~ \eta_{\mu\nu}u^\nu}{\sqrt{-\eta_{\mu\nu}u^\mu u^\nu}}  d\tau ~~ \delta u^\mu. \end{align}\)
Der TA hat nun gesagt, dass es hier ab hier möglich sein sollte den Integranden in Form einer Ableitung nach \(\tau\) aufzuschreiben, so dass das Integral wegfällt und die Bewegungsgleichungen praktisch dortstehen. Leider will mir dieser Schritt nicht gelingen, kann jemand vlt. etwas nachhelfen?

Gruss Sito
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 615
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-17

\(\begingroup\)
Hallo!
Vermutlich ist gemeint, dass du, wie man es bei der Euler-Lagrange-Gl. eben so macht, partiell integrierst (\(\delta u^\mu=\partial_t\delta x^\mu\)). Dass sich da aber Differential und Integral canceln sehe ich nicht, vielmehr müsste man m.E. den Hauptsatz der Variationsrechnung benutzen.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sito
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.11.2016
Mitteilungen: 213
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-17


Vielen Dank für die Antwort!

Es ist natürlich möglich, dass ich den TA da falsch verstanden habe und da ich jetzt nach mehrmaligem Versuchen immer noch nicht auf etwas Schlaues komme würde ich gerne deinen Ansatz versuchen. Leider bin ich nicht besonders vertraut mit der Variationsrechnung (kurze Einführung in der allgemeinen Mechanik gehabt), von daher weiss ich nicht genau was der Hauptsatz der Varaitionsrechnung sein soll und Wikipedias Artikel dazu (hier) ist mir dann leider etwas zu "mathematisch" um daraus wirklich schlau zu werden...

Könntest du diesen vlt. kurz erklären?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 615
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-17

\(\begingroup\)
Hallo!

Ich war nicht vorsichtig genug bei der Benennung, "offiziell" heißt es wohl Fundamentallemma, siehe in den entsprechenden Unterabschnitt.

Mehr als das, was du in der klassischen Mechanik darüber gehört hast, wirst du hier ebenfalls nicht brauchen. Du wandelst nur \(\int\limits_a^b f(x)g'(x)\mathrm dx\) in \(-\int\limits_a^b f'(x)g(x)\mathrm dx\) um und argumentierst mit besagtem Lemma, dass dann \(f'(x)=0\) sein muss.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sito
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.11.2016
Mitteilungen: 213
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-18

\(\begingroup\)
Vielen Dank für die Ergänzung!

Ich glaube die grundsätzliche Idee dahinter ist klar, zumindest der Beweis den ich online gefunden habe (hier). Das Problem ist nun, dass ich es nicht so recht schaffe das Theorem auf mein Problem hier anzuwenden, bzw. schaffe ich es nicht \(f(x)\) und \(g(x)\) so zu definieren, dass die von dir angegebene Gleichheit gilt. Könntest du hier etwas nachhelfen?

\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 615
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-18

\(\begingroup\)
2018-05-18 14:04 - Sito in Beitrag No. 4 schreibt:
Das Problem ist nun, dass ich es nicht so recht schaffe das Theorem auf mein Problem hier anzuwenden, bzw. schaffe ich es nicht \(f(x)\) und \(g(x)\) so zu definieren, dass die von dir angegebene Gleichheit gilt. Könntest du hier etwas nachhelfen?

Ich versuch's.
Also \(u(t)\) und \(\delta u(t)\) sind ja vektorwertige Funktionen, insbesondere ergeben sie die Zeitableitung der Variation der Trajektorie, also \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(x^\alpha(t)+\epsilon\delta x^\alpha(t)\right)=u^\alpha(t)+\epsilon\delta u^\alpha(t)\), wobei \(\delta x\) (hoffentlich) definierte Randbedingungen \(\delta x(\tau_1)=\delta x(\tau_2)=0\) erfüllt (wenn es die Aufgabe nicht hergibt, sollte man das aber sicher dennoch annehmen).

Jetzt hast du also dastehen:
\[mc\int\limits_{\tau_1}^{\tau_2} \frac{\eta_{\mu\nu}u^\nu}{\sqrt{\eta_{\mu\nu}u^\mu u^\nu}}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}\delta x^\mu(\tau)\mathrm d\tau\]
Jetzt integrierst du partiell, sodass der Integrand die Gestalt \(\int\limits f'(\tau)\delta x^\mu(\tau)\mathrm d\tau\) hat. Aus dem Fundamentallemma folgt dann, dass \(f'(\tau)=0\) sein muss, das sind dann die Euler-Lagrange-Gln.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sito
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.11.2016
Mitteilungen: 213
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-18

\(\begingroup\)
Vielen Dank für die Antwort!

Wenn ich das ganze richtig angewendet habe, dann komme ich auf folgende Gleichung
\(\begin{align} \frac{d}{d\tau} \left(\frac{mc\eta_{\mu\nu}u^\nu}{\sqrt{-\eta_{\mu\nu}u^\nu u^\mu}}\right)=0 \Leftrightarrow \eta_{\mu\nu}\dot{u}^\nu -\frac{1}{2}\frac{\eta_{\mu\nu}\eta_{\mu\nu}u^\nu}{\eta_{\mu\nu} u^\mu u^\nu}(\dot{u}^\nu u^\mu + u^\nu \dot{u}^\mu)=0, \end{align}\)
wobei \(\dot{u}^\mu\equiv \partial_\tau u^\mu\) Leider bin ich mir nicht sicher, wie man das weiter verienfachen kann, bzw. scheint es mir nicht besonders schlau hier einfach zu kürzen in Anbetracht der Summenkonvention (weiter bin ich mir nicht sicher wie es um das \(\eta_{\mu\nu}\eta_{\mu\nu}\) steht. Nach der Definition der Metrik wäre das ja immer \(1\), aber man würde wenn man es einfach weglässt ja die Summation über \(\mu\) verlieren) ..
Wenn ich das richtig gesehen habe, sollte die Bewegeungsgleichung am Schluss doch etwas von der Form \(\dot{u}^\mu =0\) sein. Ich sehe im Moment noch nicht wirklich wie ich von meinem Ausdruck aus dort hinkomme.

\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 615
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-18


Ich habe gerade keine Zeit, es noch mehr auszuführen, aber im Dragon-Skript auf Seiten 59, 60 findet sich im Grunde diese Rechnung.

LG



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sito hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sito hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]