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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Interessante Darstellung der n-ten Ableitung?
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Universität/Hochschule Interessante Darstellung der n-ten Ableitung?
JohnnyTaylor
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.05.2018
Mitteilungen: 2
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-22

\(\begingroup\)
Hallo liebes Matheforum,
ich bin neulich bei einer Aufgabe auf einen Ausdruck gestoßen, bei dem ich nach einigem Überlegen eine Vermutung aufstellen konnte. Sei \(f \in C^{n}(R,R)\) und \(x \in R\) beliebig gegeben. Dann gilt:
\[ \lim\limits_{h \to 0}\frac{\sum_{l=0}^n \binom{n}{l}(-1)^{n-l}f(x+lh)}{h^{n}} = f^{(n)}(x)\] Leider ist mir der Beweis dieser Aussage bis jetzt nicht gelungen und ich konnte noch nicht bestätigen, ob diese nun wahr oder falsch ist. Habt ihr vielleicht eine Idee für einen guten Ansatz oder vielleicht sogar ein Gegenbeispiel? Ich habe den Beweis mit vollständiger Induktion versucht, konnte beim Induktionsschluss aber leider keinen zufriedenstellenden Weg finden.
Ich freue mich auf eure Antworten.

Viele Grüße
Johnny
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-26 11:32

\(\begingroup\)
Für Polynome stimmt es schon einmal.

Sei $d \in \IN$. Dann gilt:
\[\begin{align*}
 & \quad \sum_{l=0}^{n} \binom{n}{l} (-1)^{n-l} (x+lh)^d \\
& = \sum_{l=0}^{n} \binom{n}{l} (-1)^{n-l} \sum_{k=0}^{d} \binom{d}{k} x^{d-k} l^k h^k \\
& = \sum_{k=0}^{d} \left( \sum_{l=0}^{n} \binom{n}{l} (-1)^{n-l} l^k \right) \binom{d}{k} x^{d-k}  h^k \\
& = \sum_{k=0}^{d} n! \left\{ \matrix{k \\ n} \right\} \binom{d}{k} x^{d-k}  h^k
\end{align*},\] wobei $\left\{ \matrix{k \\ n} \right\}$ die Stirling-Zahl zweiter Art ist. Für $n>k$ ist $\left\{ \matrix{k \\ n} \right\} = 0$, und es gilt $\left\{ \matrix{n \\ n}\right\} = 1$. Also ist
\[\sum_{l=0}^{n} \binom{n}{l} (-1)^{n-l} (x+l h)^d = \sum_{k=n}^{d} a(n,k) \binom{d}{k} x^{d-k}  h^k,\] und weiter
\[\begin{align*}
& \quad \lim_{h \to 0} h^{-n} \sum_{l=0}^{n} \binom{n}{l} (-1)^{n-l} (x+l h)^d \\
& = \lim_{h \to 0}  \sum_{k=n}^{d} n! \left\{ k \atop n \right\} \binom{d}{k} x^{d-k}  h^{k-n} \\
& = \begin{cases} 0 & n > d \\ n! \displaystyle \left\{ n \atop n \right\} \binom{d}{n} x^{d-n} & n \leq d\end{cases} \\
& = \begin{cases} 0 & n > d \\ d \cdot (d-1) \cdots (d-n+1) \cdot x^{d-n} & n \leq d\end{cases}
\end{align*}\] Und das ist tatsächlich die $n$-te Ableitung von $x^d$.
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 953
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-05-26 12:11


Huhu,

falls dich das Thema interessiert wäre dieses Buch ja vielleicht etwas für dich. Seiten 5 bis 9 sehen schon mal sehr interessant aus.

Sonnige Grüße aus dem Norden,

Küstenkind



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kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1024
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-26 12:44


Kann man es mit der Taylorreihenentwicklung auf Polynome reduzieren?



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LeBtz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.04.2015
Mitteilungen: 1084
Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-26 12:51


Hallo,

wie man Triceratops Beitrag entnehmen kann, ist <math>\displaystyle \sum_{\ell=0}^n\binom n\ell (-1)^{n-\ell}\ell^k = 0</math> für <math>k=0,...,n-1</math>, und <math>\displaystyle \sum_{\ell=0}^n\binom n\ell (-1)^{n-\ell}\ell^n = n!</math>.

Das sind wohl bekannte Relationen für Stirling-Zahlen (danke für den Hinweis an Triceratops).

Die Aussage folgt dann aus der Regel von L'Hospital.







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JohnnyTaylor
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.05.2018
Mitteilungen: 2
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-27 14:01

\(\begingroup\)
Hallo,
vielen Dank für eure Antworten. Der Ausdruck auf der linken Seite wird laut der Quelle von Kuestenkind "unsymmetric Riemann derivative" genannt.
Leider wird dort keine Aussage über die Konvergenz gegen die normale Ableitung getroffen.

Ich versuche mich nochmal an dem Beweis:
Zeigen mittels VI,dass \[\forall n \in N_0 :[f \in C^n(R,R) \Longrightarrow\forall x \in R :\lim\limits_{h \to 0}\frac{\Delta _n(f,x,h)}{h^{n}}=f^{(n)}(x)]\] gilt, wobei \(\Delta _n(f,x,h) = \sum \limits_{i=0}^n (-1)^{n-i} {n \choose i} f(x+ih) \) sei.

IA: \(n = 0\)
\[\lim\limits_{h \to 0}\frac{\Delta _0(f,x,h)}{h^{0}} = \lim\limits_{h \to 0}f(x) = f^{(0)}(x)\] IV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes \(n = k \in N_0\).
IS: Zeigen Behauptung für \(k+1\):
\[\lim\limits_{h \to 0}\frac{\Delta _{k+1}(f,x,h)}{h^{k+1}} \stackrel{(1.2.14)}{=} \lim\limits_{h \to 0}\frac{\frac{\Delta _{k}(f,x+h,h)}{h^k}-\frac{\Delta _{k}(f,x,h)}{h^k}}{h}\stackrel{IV}{=}
\lim\limits_{h \to 0}\frac{f^{(k)}(x+h)-f^{(k)}(x)}{h}\stackrel{f \in C^{k+1}(R,R)}{=} f^{(k+1)}(x)\] Mit IA, IV und IS folgt die Behauptung.

Die Identität \((1.2.14)\), die ich ausgenutzt habe wird in dem von Kuestenkind verlinkten Buch bewiesen.

Was meint ihr zu diesem Beweis?
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
LeBtz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.04.2015
Mitteilungen: 1084
Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-27 16:21


Hi,

du überspringst den kritischen Schritt dort, wo du einfach IV über das Gleichheitszeichen schreibst. Du wertest da partiell einen Grenzwert aus, indem du an einigen Stellen das <math>h</math> stehen lässt und an anderen <math>h</math> gegen <math>0</math> laufen lässt.

Wenn du keinen Grenzübergang durchführst, wie bist du dann von <math>\Delta_k</math> zu <math>f^{(k)}</math> gelangt?




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