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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Exaktheit von zwei Funktoren
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Autor
Universität/Hochschule J Exaktheit von zwei Funktoren
Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-24

\(\begingroup\)
Hallo,

ich bräuchte einige Denkimpuls für die folgende Aufgabe.

Sei $T:\mathsf{Ab}\to \mathsf{Ab}$ der Funktor, der jedem abelschen Gruppe ihre Torsionsuntergruppe zuordnet. (sowie $T(f):=f|_{T(A)}$ für den Morphismen)
Und sei $F: \mathsf{Ab}\to \mathsf{Ab}$ der Funktor definiert durch $F(A):=A/T(A)$.

Nun soll ich Aussagen über die (rechte/linke) Exaktheit der beiden Funktoren machen. (Ich stehe wirklich auf dem Schlauch.)
\(\endgroup\)


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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 749
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-24


Hallo Saki17,

in erster Näherung würde ich mir endlich erzeugte abelsche Gruppen anschauen. Damit erhältst Du wahrscheinlich eine solide Vermutung über rechts-/linksexakt.



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Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 464
Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24

\(\begingroup\)
Hallo TomTom314,

danke für deinen Vorschlag.

Wenn meine Rechnung auf Schmierzettel stimmt, sollten die beiden Funktoren auf der Kategorie der endlich erzeugten abelschen Gruppen exakt sein. (Jede e.e. abelsche Gruppen kann man in ihren freien und Torsionsanteil zerlegen. Schreibe etwa $A=Fr(A)\oplus Tor(A)$ für e.e. abelsche Gruppen $A$ und sei $f:A\to B$ ein Morphismus in der Unterkategorie, dann ist $T(f):Tor(A)\to Tor(B),~ F(f): Fr(A)\to Fr(B)$, und die Exaktheit ist im Fall nicht schwer zu sehen. So war meine Überlegung gewesen.)

Die "endlich erzeugt"-Bedingung könnte dabei vielleicht notwendig sein, daher, um die Exaktheit zu testen/widerlegen, müsste ich mir nicht-e.e. abelschen Gruppen anschauen...
\(\endgroup\)


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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 749
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-24

\(\begingroup\)
So in etwa, nur dass die Einschränkung $F(f): Fr(A)\to Fr(B)$ nicht funktioniert. razz Schau Dir mal \(0\to\IZ\stackrel{\cdot n}{\to}\IZ\to\IZ/n\IZ\to 0\) an.

Beim Übergang zum allgemeinen Fall würde ich auf (Ko)limes tippen - kenne mich damit aber überhaupt nicht aus.
\(\endgroup\)


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Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 464
Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24


Ja, ich habe angenommen dass die Gruppen immer freien Anteil hat, was natürlich nicht der Fall ist.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-24

\(\begingroup\)
Der Funktor $T$ ist linksexakt (einfach nachrechnen), aber nicht rechtsexakt, weil er keine Epimorphismen erhält (betrachte den natürlichen Epimorphismus $\IZ \to \IZ/2\IZ$ etwa).

Der Funktor $F$ ist weder links- noch rechtsexakt, weil er z.B. die exakte Sequenz $0 \to \IZ \xrightarrow{2} \IZ \to \IZ/2\IZ \to 0$ auf die Sequenz $0 \to \IZ \xrightarrow{2} \IZ \to 0 \to 0$ abbildet, die in der Mitte nicht exakt ist.

PS: Die behauptete Exaktheit in Beitrag 2 ist also falsch.
\(\endgroup\)


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Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 464
Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25 10:09

\(\begingroup\)
Danke!

Mein Fehler für die Behauptung von $T$ ist "symmetrisch" zu dem für $F$: Ich habe schlicht vergessen dass eine e.e. abelsche Gruppe gar keine Torsionsuntergruppe haben kann.
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-25 11:57


Das verstehe ich nicht. Jede abelsche Gruppe hat eine Torsionsuntergruppe.



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kurtg
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Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1024
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-25 12:49


Er meint vielleicht eine nichttriviale.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-25 13:38


Auch dann verstehe ich die Aussage nicht.



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Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25 15:49

\(\begingroup\)
Ich wollte meinen wenn $A=Fr(A)\oplus Tor(A)$, kann $Tor(A)=0$ sein (wo die Gruppe frei ist). Hätte es als Torsionsanteil nennen sollten.
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