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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Fixpunkt finden (Banach)
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Universität/Hochschule J Fixpunkt finden (Banach)
Roemer
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.01.2018
Mitteilungen: 18
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-24

\(\begingroup\)
Hallo,
ich versuche gerade zu zeigen, dass es genau einen Punkt a gibt, für den gilt:
$ae^{e^{-a}}=1$

Ich habe das Problem bereits gelöst, allerdings nicht wie gedacht mit dem Banachschen Fixpunktsatz.

Zuerst: $ae^{e^{-a}}=1$ aus der Angabe fasse ich auf als $ae^{(e^{-a})}=1$.

Meine Idee: Ich muss das ganze doch zuerst auf eine Form $f(x)=x$ bringen um es mit Banach zu lösen. Das erreiche ich folgendermaßen:
$ae^{e^{-a}}=1$
$e^{-a}ln(ae)=ln(1)$
$e^{-a}=\frac{ln(1)}{ln(ae)}$
$(-a)ln(e)=ln (\frac{ln(1)}{ln(ae)})$
$-a= \frac{ln(\frac{ln(1)}{ln(ae)})}{ln(e)}$
$a= - ln(\frac{ln(1)}{ln(ae)})$
$a= - ln(ln(1)) + ln(ln(ae)))$

ln(ln(1)) ist ja ln(0) und das ist nicht definiert, daher mein Verdacht, dass ich auf dem falschen Weg bin.
Was sollte ich anders versuchen?
\(\endgroup\)


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Akura
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.05.2012
Mitteilungen: 701
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-24

\(\begingroup\)
Hossa,

du kannst die Gleichung $a\cdot e^{e^{-a}} = 1$ einfach nach $a = e^{-e^{-a}}$ umformen.


-----------------
Quod Erat Demonicum.
\(\endgroup\)


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Roemer
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.01.2018
Mitteilungen: 18
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24

\(\begingroup\)
$a = e^{-e^{-a}} = f(a)$, ja klar. Recht blöd von mir.

Weiters würde ich jetzt wohl eine Kontraktionskonstante q suchen. Es soll gelten:
$|f(a)-f(b)| \leq q|a-b|$

Allerdings komme ich so auf nichts, denn nach
$|f(a)-f(b)| \leq |e^{-e^{-a}} - e^{-e^{-b}}|$
komme ich nicht mehr weiter.
\(\endgroup\)


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targon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 73
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-24


Hier ist es vielleicht einfacher abzuleiten: Man kann nämlich recht direkt zeigen, dass für eine stetig differenzierbare Funktion <math>f</math> gilt:
<math>\displaystyle \abs{f(x) - f(y)} \leq \norm{f'}_\infty ~ \abs{x-y}</math>
Dabei ist <math>\norm{f'}_\infty := \sup\limits_x \abs{f'(x)}</math>
Also wenn du zeigen kannst, dass die Ableitung von <math>e^{-e^{-x}}</math> durch eine Konstante <math>0< q <1</math> beschränkt ist, hättest du es auch.

Gruß
Targon



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Roemer
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.01.2018
Mitteilungen: 18
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24

\(\begingroup\)
Das klingt gut.
$\frac{d}{dx}e^{-e^{-x}} = e^{-e^{-x}-x}$
Ich habe versucht es umzuformen, komme dabei aber auf keinen schöneren Ausdruck, aber auch so geht es gut.

$ e^{-e^{-x}-x}$ ist beschränkt genau dann wenn die Potenz beschränkt ist.
Also versuche ich zu zeigen, dass  $-e^{-x}-x < K\in \mathbb{R}$

$-x<e^{-x} \Longrightarrow x>-e^{-x} \Longrightarrow 0 > -e^{-x}-x$

Also wissen wir, dass die Potenz negativ ist, daher wissen wir, dass der ganze Ausdruck $ e^{-e^{-x}-x}\in (0,1)$

Dadurch wissen wir also, dass die Abbildung $f(x)=e^{-e^{-x}}$ eine Kontraktion ist was wiederum heißt, dass f genau einen Fixpunkt besitzt.

Gibt es daran noch etwas auszusetzen?
\(\endgroup\)


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targon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 73
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-24


Nichts auszusetzen, sieht super aus. Jetzt musst du nur noch rauskriegen, was der Fixpunkt ist.



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Roemer
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.01.2018
Mitteilungen: 18
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24


Danke vielmals.
Für mich ist eigentlich nur wichtig, zu zeigen, dass ein Fixpunkt existiert.
Wie würde ich den Fixpunkt aber finden? Ich könnte ihn mit einem Algorithmus annähern, mehr fällt mir selbst dazu nicht ein



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targon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 73
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-25 11:54


Ah ok, ich dachte das wäre gefragt gewesen. Dazu fällt mir jetzt auch nichts gutes ein und es scheint auch nicht so einfach zu sein. Zumindest Wolfram|Alpha gibt auch nur eine Näherung und keinen geschlossenen Ausdruck.



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Roemer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25 12:07


Danke nochmal



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Roemer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-06 20:21


Ich möchte für Zukünftige Leser nur noch kurz anmerken, dass ich in meinem letzten Teil des Beweises einen kleinen Fehler habe.
Ich habe nur gezeigt, dass mein Ausdruck kleiner 1 ist, zu zeigen wäre allerdings gewesen, dass es einen Konstant kleiner 1 gibt, die meinen Ausdruck nach oben Beschränkt.
Ist allerdings leicht, das gewünschte zu zeigen.



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