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 Quadratische Gleichungen mit komplexen Koeffizienten |
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Kon86
Junior 
Dabei seit: 25.05.2018
Mitteilungen: 13
 |  Themenstart: 2018-05-25
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Hallo folgende Aufgabe bereitet mit Kopfzerbrechen:
Ich soll diese quadratische Gleichung lösen:
z^2 − 9z + 20= 3iz^2 - 7iz +10i
Mein erster Schritt war den rechten Term auf die linke Seite holen und sortieren
(z^2 − 3i z^2) −(9z+ 7iz) +(20−10i)=0
dann habe ich die Unbekannten ausgeklammert
(1−3i)z^2 − (9−7i)z + (20−10i)=0
und jetzt habe ich Normiert durch (1−3i) und die PQ Formel angewendet.
habe auch beim einsetzen die MINUSZEICHEN richtig beachtet etc...
leider kommt nur Müll raus.
ich bräuchte ab dem Schritt mit :
(1−3i)z^2 − (9−7i)z + (20−10i)=0
dringend Hilfe und eine Erklärung step by step bitte danke !
Die Lösungen sollen sein :
:-o
z1=1+3i
z2=2−i
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PrinzessinEinhorn
Senior 
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-25
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Hallo,
wenn du durch 1-3i dividierst, dann erhältst du:
$z^2-\frac{9-7i}{1-3i}z+\frac{20-10i}{1-3i}=0$
Ich würde jetzt jeweils mit der komplex konjugierten erweitern, also mit $1+3i$ und dann, wie üblich, die pq-Formel anwenden.
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Kon86
Junior
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25
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\quoteon(2018-05-25 16:37 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1)
Hallo,
wenn du durch 1-3i dividierst, dann erhältst du:
$z^2-\frac{9-7i}{1-3i}z+\frac{20-10i}{1-3i}=0$
Ich würde jetzt jeweils mit der komplex konjugierten erweitern, also mit $1+3i$ und dann, wie üblich, die pq-Formel anwenden.
\quoteoff
Ja ok dann erhalte ich :
z^2 -3-2i z +5+5i = 0
so wenn ich das in die PQ-Formel einsetze:
z=p/2+-sqrt((p/2)^2-q)
konkret:
z= 3/2-i+-sqrt((-3/2-i)^2-5-5i)
wie arbeite ich mit der i unter der wurzel ?
wie komme ich zu den Ergebnissen, daran hapert es kannst du es vorrechnen ?
ich versteh sonst nicht was ich falsch mache ! :-? :-? :-? :-?
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-25
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Du hast einen Vorzeichenfehler gemacht.
In der pq-Formel heißt es:
$z_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\dotso$
Daher musst du mit $\frac{3+2i}{2}$ arbeiten.
\quoteon
wie arbeite ich mit der i unter der wurzel ?
\quoteoff
Lass dich von dem i nicht stören.
Fasse erstmal unter der Wurzel zusammen.
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Kon86
Junior
Dabei seit: 25.05.2018
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26
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\quoteon(2018-05-25 17:22 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 3)
Du hast einen Vorzeichenfehler gemacht.
In der pq-Formel heißt es:
$z_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\dotso$
Daher musst du mit $\frac{3+2i}{2}$ arbeiten.
\quoteon
wie arbeite ich mit der i unter der wurzel ?
\quoteoff
Lass dich von dem i nicht stören.
Fasse erstmal unter der Wurzel zusammen.
\quoteoff
so weiter gehts:
z=((3+2i)/2)^2+- sqrt(((-3-2i)/2 )^2 -5-5i)
weiter zusammengefasst ist es :
z=((3+2i)/2)^2+- sqrt(-15/4-2i)
so und ab jetzt sehe ich keine weitere Möglichkeit weil i unter Wurzel steht.
hat jemand einen Tip oder was kann man alternativ machen ?
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-26
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Du hast dich wohl vertippt.
Es muss heißen:
$z_{1,2}=\frac{3+2i}{2}\pm\sqrt{\frac{-15-8i}{4}}$
Wir können jetzt erstmal etwas aus der Wurzel rausziehen und erhalten weiter:
$z_{1,2}=\frac{3+2i}{2}\pm\frac{i}{2}\sqrt{15+8i}$
Ist dir dieser Schritt klar?
Nun müssen wir $\sqrt{15+8i}$ bestimmen.
Gesucht ist daher die komplexe Zahl $a+ib$, welche quadriert 15+8i ergibt.
Daher $(a+ib)^2=15+8i$
Rechne dies aus und teile jeweils in Real- und Imaginärteil auf.
Du erhältst zwei Gleichungen mit zwei Variablen.
Dies musst du lösen und bist dann so gut wie fertig.
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Wauzi
Senior 
Dabei seit: 03.06.2004
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Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-26
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Hallo,
setze a+ib=Wurzel, quadriere und bestimme a,b
Gruß Wauzi
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Kon86
Junior
Dabei seit: 25.05.2018
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26
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\quoteon(2018-05-26 20:13 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 5)
Du hast dich wohl vertippt.
Es muss heißen:
$z_{1,2}=\frac{3+2i}{2}\pm\sqrt{\frac{-15-8i}{4}}$
Wir können jetzt erstmal etwas aus der Wurzel rausziehen und erhalten weiter:
$z_{1,2}=\frac{3+2i}{2}\pm\frac{i}{2}\sqrt{15+8i}$
Ist dir dieser Schritt klar?
Nein nicht ganz so klar... leider...
ich versuche es zu verstehen aber kommt nicht ganz an :-(
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
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| Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-26
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Ein reelles Beispiel für die verwendete Rechenregel ist etwa:
$\sqrt{75}=5\cdot\sqrt{3}$, denn $\sqrt{75}=\sqrt{5^2\cdot 3}=5\cdot\sqrt{3}$
Wenn du etwas aus der Wurzel ausklammern möchtest, musst du dies "quadratisch" tun...
In der zitierten Rechnung ziehen wir $\frac{-1}{4}$ aus der Wurzel raus und nutzen $i^2=(-1)$. So kommen wir auf $\frac{i}{2}$.
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Kon86
Junior
Dabei seit: 25.05.2018
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26
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\quoteon(2018-05-26 20:28 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 8)
Ein reelles Beispiel für die verwendete Rechenregel ist etwa:
$\sqrt{75}=5\cdot\sqrt{3}$, denn $\sqrt{75}=\sqrt{5^2\cdot 3}=5\cdot\sqrt{3}$
Wenn du etwas aus der Wurzel ausklammern möchtest, musst du dies "quadratisch" tun...
In der zitierten Rechnung ziehen wir $\frac{-1}{4}$ aus der Wurzel raus und nutzen $i^2=(-1)$. So kommen wir auf $\frac{i}{2}$.
\quoteoff
ahhhhh jetzt ! :-D
ich muss es also so zerlegen das ein äquivalenter ausdruck rauskommt....
gut check
so und dann
wie gerade beschrieben weiter ich setze:
a+bi= sqrt(15+8i)
UND quadriere das gesamte ?
(a+bi)^2 = 15+8i
und nach wohin forme ich um ?
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Kon86
Junior
Dabei seit: 25.05.2018
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26
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\quoteon(2018-05-26 20:14 - Wauzi in Beitrag No. 6)
Hallo,
setze a+ib=Wurzel, quadriere und bestimme a,b
Gruß Wauzi
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
\quoteoff
das verstehe ich nicht ganz :-?
gleichsetzten und in Re(z) und Im (z) sortieren ?
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
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| Beitrag No.11, eingetragen 2018-05-26
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Die Vorgehensweise hast du in Beitrag Nr. 9 erklärt.
In Beitrag Nr. 10 verwirrst du dich selbst. :)
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Kon86
Junior
Dabei seit: 25.05.2018
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26
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\quoteon(2018-05-26 20:39 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 11)
Die Vorgehensweise hast du in Beitrag Nr. 9 erklärt.
In Beitrag Nr. 10 verwirrst du dich selbst. :)
\quoteoff
also ich stehe jetzt hier :
(a+bi)²=15+8i
mein plan wäre (a+bi)² mit der 1. bin. Formel auflösen......
aber weiter keine wirkliche Ahnung
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.13, eingetragen 2018-05-26
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Wie gesagt danach in Imaginär- und Realteil aufteilen.
Es ist hilfreich wenn du probierst die Schritte die du hinbekommst erstmal zu machen.
Danach siehst du dann vielleicht selber wie es weitergeht, oder wie es sinnvoll weitergehen sollte.
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Kon86
Junior
Dabei seit: 25.05.2018
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26
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\quoteon(2018-05-26 20:46 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 13)
Wie gesagt danach in Imaginär- und Realteil aufteilen.
Es ist hilfreich wenn du probierst die Schritte die du hinbekommst erstmal zu machen.
Danach siehst du dann vielleicht selber wie es weitergeht, oder wie es sinnvoll weitergehen sollte.
\quoteoff
also alle Schritte zur und nach der PQ-Formel habe ich erfasst.
nun stehe ich immernoch hier bei (a+bi)²=15+8i
ich habe (a+bi)² ausmultipliziert
a²+2abi-b²=15+8i
ich verstehe es einfach nicht wie ich auf die Ergebnisse kommen soll
wenn du einen weg weisst könntest du ihn mit mir teilen ? sitze an diesem Mist schon 2 Tage und verstehe es einfach nicht.
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.15, eingetragen 2018-05-26
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Ja, wie gesagt nun in Real- und Imaginärteil aufteilen.
Aus $a^2-b^2+2iab=15+8i$ werden die Gleichungen:
$a^2-b^2=15$ (Realteil) und
$2ab=8$ (Imaginärteil)
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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
 | Beitrag No.16, eingetragen 2018-05-26
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Vielleicht hilft ja etwas Farbe:
\(\displaystyle \color{red}{a^2-b^2}+\color{blue}{2ab}\operatorname{i}=\color{red}{15}+\color{blue}{8}\operatorname{i}\)
Nun?
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
edit: Sorry @Prinzessin... Nun ja - doppelt genäht hält vll besser.
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