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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Nullstellen und Satz von Rolle
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Autor
Universität/Hochschule J Nullstellen und Satz von Rolle
kingdingeling
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.09.2017
Mitteilungen: 285
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-26 13:27


Liebe Mitglieder,

folgende Aufgabe:



Bislang habe ich folgendes mir überlegt:

fed-Code einblenden

An dieser Stelle hänge ich fest. Wie kann ich hier nun den Satz von Rolle verwenden? Mir ist klar, dass g(x) nun min. eine Nullstelle haben kann und maximal 2 Nullstellen, aber ich weiß nicht wie ich nun zeigen kann dass g(x) genau zwei reelle Nullstellen hat und inwieweit dass mit dem Satz von Rolle zusammenhängt. Ich könnte "unelegant" den Vorzeichenwechsel zwischen -2 und 0 bzw. 0 und +2 zeigen, aber dann hätte ich ja mit dem Mittelwertsatz argumentiert, dass es min. zwei Nullstellen und siehe oben aus dem Grad des Polynoms g(x) max zwei Nullstellen gibt und daher genau zwei. Aber ich würde gerne wissen, wie diese Aufgabe mit dem Satz von Rolle lösbar wäre. Ich wäre daher für Tipps und Hinweise sehr dankbar :-)

Gruß
KingDingeling



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45520
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-26 14:38


Hi kingdingeling,
es ist nicht richtig, dass gx) ein Polynom vom Grad 2 ist.
Der Satz von Rolle liefert die Existenz von Nullstellen der Ableitung.
Man kann ihn verwenden, um zu beweisen, dass es keine drei Nullstellen geben kann, wenn es gelingt, nachzuweisen, dass die Ableitung höchstens eine Nullstelle hat.
Ich weiß allerdings nicht, ob dies möglich ist.
Außerdem müsste man sich überlegen, auf welche Funktion man den Satz von Rolle anwendet, es könnte deine Funktion g(x) sein, oder etwas anderes.
Ich habe noch nicht herausgekriegt, welchen Ansatz man wählen muss, um zum Ziel zu kommen.
Neben dem Satz von Rolle muss man außerdem eine Aussage über vorhandene Nullstellen mit Hilfe des Zwischenwertsatzes beweisen. Der Satz von Rolle allein reicht also nicht aus.
Gruß Buri



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 953
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-05-26 15:01

\(\begingroup\)
Huhu,

betrachte die Funktion \(h(x)=x\sin(x)+\cos(x)-x^2\). Dann ist:

\(h\left(\frac{\pi}{2}\right)<0\)

\(h(0)>0\)

\(h\left(-\frac{\pi}{2}\right)<0\)

Damit solltest du dann dein Ziel erreichen.

Gruß,

Küstenkind
\(\endgroup\)


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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45520
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-26 15:21


2018-05-26 15:01 - Kuestenkind in Beitrag No. 2 schreibt:
... Damit solltest du dann dein Ziel erreichen.
Hi Kuestenkind & kingdingeling,
ich sehe aber noch nicht, welche Bedeutung hier der Satz von Rolle haben soll.
Gruß Buri



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 953
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-26 15:37

\(\begingroup\)
Hi Buri,

nach Zwischenwertsatz hat die Funktion \(h\) mindestens zwei Nullstellen. Nun ist aber \(h'(x)=\sin(x)+x\cos(x)-\sin(x)-2x=x(\cos(x)-2)\), besitzt somit eine Nullstelle. Nach Rolle hat \(h\) somit genau 2 Nullstellen.

Gruß,

Küstenkind
\(\endgroup\)


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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45520
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-26 15:45

\(\begingroup\)
2018-05-26 15:37 - Kuestenkind in Beitrag No. 4 schreibt:
... Nach Rolle hat \(h\) somit genau 2 Nullstellen.
Hi Kuestenkind,
(gelöscht)
Gruß Buri
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1273
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-26 16:02

\(\begingroup\)
\(g\) kann nach dem Satz von Rolle weder zwei negative, noch zwei positive Nullstellen haben. Denn hätte \(g\) zwei negative Nullstellen, so würde aus dem Satz von Rolle folgen, dass \(g'\) eine negative Nullstelle hätte (was es ja nicht hat).
Genauso kann \(g\) keine zwei (oder mehr) positive Nullstellen haben.

Da man (z.B. mit dem ZWS) zeigen kann, dass \(g\) jeweils eine negative und eine positive Nullstelle hat, ist gezeigt, dass \(g\) genau zwei Nullstellen besitzt
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 953
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-26 16:10

\(\begingroup\)
Hi Buri,

ich verstehe nicht, wieso die Überlegung unvollständig ist. Der Satz von Rolle besagt doch, dass wenn \(a\) und \(b\) zwei verschiedene Nullstellen der Funktion \(f\) sind, es ein \(c\) zwischen \(a\) und \(b\) gibt, für das \(f'(c)=0\). Wenn die Ableitung also nur eine Nullstelle hat, dann kann die Funktion doch höchstens 2 Nullstellen besitzen. Und aus mindestens 2 und höchstens 2 folgt bei mir genau 2.

Gruß,

Küstenkind
\(\endgroup\)


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kingdingeling
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.09.2017
Mitteilungen: 285
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26 18:21


Hi,

vielen Dank an euch alle. Also ich finde die Formulierung der Aufgabe absolut daneben. Mir ist klar gewesen, dass man mit dem Satz von Rolle zeigen kann, dass es max 2 NS gibt. Aber ich dachte dass ich damit auch noch mehr zeigen soll, nämlich dass es genau 2 Nullstellen gibt. Dass man den Zwischenwertsatz noch mitbenutzen soll wäre echt gut gewesen zu sagen, statt einfach nur einen Satz zu schreiben. Dann soll man eben überhaupt keinen hinschreiben.

Also bis auf meine dumme Bemerkung mit dem Polynom war ich ja ganz knapp an der Antwort dran. :-)

Danke und schönes Wochenende!



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