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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Darstellungstheorie » Permutationsdarstellung impliziert lineare Darstellung
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Autor
Universität/Hochschule J Permutationsdarstellung impliziert lineare Darstellung
Samstag112
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.06.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-05


Hallo ihr Lieben,

ich muss in einem Seminar einen Vortrag über Lineare Darstellungen von Gruppen halten. Unter anderem soll ich folgenden Punkt vorstellen/erklären: "Konstruktion, wie jede Permutationsdarstellung eine lineare Darstellung impliziert".

Da stellen sich bei mir die Fragen:
1. Eine Permutationsdarstellung ist doch einfach nur eine spezielle Form der linearen Darstellungen, oder habe ich da etwas grundlegend falsch verstanden?
2. Was soll ich denn da eigentlich konstruieren?

Vielleicht könnt ihr mir ja auf die Sprünge helfen, ansonsten werde ich wohl nochmal meinen Dozenten darauf ansprechen.

Liebe Grüße!

Btw: Ich hoffe, ich bin damit im richtigen Forum gelandet. Geht ja immerhin um Gruppen biggrin



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ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2432
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-05

\(\begingroup\)
2018-06-05 13:42 - Samstag112 im Themenstart schreibt:
1. Eine Permutationsdarstellung ist doch einfach nur eine spezielle Form der linearen Darstellungen, oder habe ich da etwas grundlegend falsch verstanden?
Eine Permutationsdarstellung von $G$ ist ein Homomorphismus in eine Permutationsgruppe, $G\to\mathrm{Sym}(X)$. Eine lineare Darstellung hat als Zielbereich dagegen eine allgemeine lineare Gruppe, $GL(V)$.


2. Was soll ich denn da eigentlich konstruieren?
Vielleicht geht das über Permutationsmatrizen. Ich hab aber auch nicht länger darüber nachgedacht. Redest du über allgemeine Gruppen oder nur endliche Gruppen?


Btw: Ich hoffe, ich bin damit im richtigen Forum gelandet. Geht ja immerhin um Gruppen biggrin
Ja, perfekt.


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Darstellungstheorie' von ligning]


-----------------
⊗ ⊗ ⊗
\(\endgroup\)


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Samstag112
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Mitteilungen: 12
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-05


Wir haben das Thema begrenzt auf endliche Gruppen! smile



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helmetzer
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Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1185
Aus: Helmbrechts, Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-05


Es gibt für jeden Körper <math>K</math> einen Monom.: <math>S_n \to GL(n,K)</math>.



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Samstag112
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.06.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-07


2018-06-05 14:07 - helmetzer in Beitrag No. 3 schreibt:
Es gibt für jeden Körper <math>K</math> einen Monom.: <math>S_n \to GL(n,K)</math>.


Okay, also muss ich eine Abbildung konstruieren? Ich weiß leider gar nicht wirklich, was mein Ziel ist.
Ich habe ja als Permutationsdarstellung eine Abbildung G --> Sym(X).
Soll ich zeigen, dass daraus eine Abbildung G --> GL(V) folgt?
Das würde doch eigentlich nur bedeuten, dass ich die Permutationsdarstellung mit dem Monomorphismus verknüpfen muss, oder nicht? confused



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helmetzer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1185
Aus: Helmbrechts, Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-07


Ich bin kein Experte für Darstellungstheorie. Betrachte zu einer Permutation <math>p</math> die Matrix <math>(\delta_{i,p(j)})</math> (Permutationsmatrix).

<math>\delta</math> ist das Kroneckersymbol: de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Delta

Je nach Schreibweise (links/rechts) müssen die Indizes evtl. vertauscht werden.



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Samstag112
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18


Danke für die Hilfe! Ich habe das Problem gelöst! 😊



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