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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Darstellungstheorie » Gegenbeispiel Satz von Maschke
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Autor
Universität/Hochschule J Gegenbeispiel Satz von Maschke
Samstag112
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.06.2018
Mitteilungen: 12
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-13


Hallo!

Ich muss in einem Vortrag erklären, warum der Satz von Maschke nur für endliche Gruppen gilt und bei welchen die Charakteristik des Körpers nicht die Gruppenordnung teilt. Also Gegenbeispiele für beides finden und erklären. Für ersteres soll ich die ganzen Zahlen nehmen. Aber ich weiß einfach absolut keinen Ansatz, wie ich das ganze zeigen und erklären soll. Könnt ihr mir da vielleicht auf die Sprünge helfen? Darstellungstheorie ist einfach nicht mein Ding frown

Vielen Dank im Voraus und liebe Grüße!



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Dune
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.03.2009
Mitteilungen: 3005
Aus: Rostock
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-13

\(\begingroup\)
Unabhängig davon ob die Gruppe G unendlich ist oder ob die Charakteristik des Körpers \( \mathbb{K} \) die Ordnung von G teilt, ist die Gruppenalgebra \( \mathbb{K}G \) selbst ein Gegenbeispiel. Betrachte den surjektiven Homomorphismus \( f \colon \mathbb{K}G \to \mathbb{K} \) in den trivialen Modul mit \( f(g) = 1 \) für alle \( g \in G \). Zeige, dass es kein idempotentes Element \( e \in \mathbb{K}G \) gibt mit \( f(e) = 1 \) und \( ge = e \) für alle \( g \in G\). Daraus folgt, dass der Kern von f kein Komplement in \( \mathbb{K} G \) besitzt (warum?).

VG Dune
\(\endgroup\)


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Samstag112
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.06.2018
Mitteilungen: 12
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-13


Vielen Dank! Ich soll das ganze allerdings eben einmal davon abhängig machen, dass die Gruppe unendlich ist und einmal, dass die Charakteristik des Körpers die Gruppenordnung teilt. Moduln und Algebren haben wir in dem Seminar auch noch nicht behandelt und das würde den Rahmen meines Vortrages von 45 Minuten sprengen. eek



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Dune
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Dabei seit: 30.03.2009
Mitteilungen: 3005
Aus: Rostock
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-13

\(\begingroup\)
Man kann auch alles auf (Matrix-) Darstellungen runterbrechen, wenn man möchte. Der (Links-) Modul \( \mathbb{K} G \) ist zum Beispiel nichts anderes als die Permutationsdarstellung von G, die durch (Links-) Multiplikation auf sich selbst operiert. Das wäre für dich sicherlich auch eine sehr gute Übung, um die Materie besser kennenzulernen. Ist aber natürlich deine Entscheidung.

Sag Bescheid wenn du irgendwelche Fragen in die Richtung hast!
\(\endgroup\)


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Dune
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.03.2009
Mitteilungen: 3005
Aus: Rostock
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-14

\(\begingroup\)
Überlege dir mal ganz allgemein, wie die Darstellungen \( D \colon \mathbb{Z} \to \mathrm{GL}(2,\mathbb{C}) \) aussehen. Was genau sind die invarianten Unterräume von \( \mathbb{C}^2 \) bezüglich D? Du wirst sehen, dass das alles Dinge sind, die du schon aus der linearen Algebra kennst. Insbesondere die Eigenschaft, ob D den Satz von Maschke erfüllt (oder eben nicht erfüllt), ist dir garantiert bereits unter einem anderen Namen aus der linearen Algebra bekannt. wink
\(\endgroup\)


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Samstag112
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-15

\(\begingroup\)
2018-06-14 10:47 - Dune in Beitrag No. 4 schreibt:
Überlege dir mal ganz allgemein, wie die Darstellungen \( D \colon \mathbb{Z} \to \mathrm{GL}(2,\mathbb{C}) \) aussehen. Was genau sind die invarianten Unterräume von \( \mathbb{C}^2 \) bezüglich D? Du wirst sehen, dass das alles Dinge sind, die du schon aus der linearen Algebra kennst. Insbesondere die Eigenschaft, ob D den Satz von Maschke erfüllt (oder eben nicht erfüllt), ist dir garantiert bereits unter einem anderen Namen aus der linearen Algebra bekannt. wink

Haha, da hab ich in Linearer Algebra wohl nicht richtig aufgepasst oder den Satz wieder vergessen biggrin
Also ich habe jetzt überlegt, dass ich die Darstellung fed-Code einblenden fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Aber wie komme ich dann weiter? Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch confused

Danke für die Hilfe und die Geduld biggrin
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-15

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2018-06-15 13:32 - Samstag112 in Beitrag No. 5 schreibt:

Also ich habe jetzt überlegt, dass ich die Darstellung fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Welche obere Dreiecksmatrix?

Zum allgemeinen Fall:
Sei $D:\mathbb Z\rightarrow\mathrm{GL}(2,\mathbb{C}) $ eine Darstellung. Bedenke, dass $\mathbb Z$ zyklisch ist, also $D$ eindeutig bestimmt ist durch $D(1)$. Wenn $D(1)=A$, was ist dann $D(n)$?
Wenn weiter $U= \langle u\rangle $ ein eindimensionaler $D$-invarianter Unterraum von $\mathbb{C}^2$ ist, welche Beziehung muss dann zwischen $A$ und $u$ bestehen?  
\(\endgroup\)


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Dune
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-15


2018-06-15 13:32 - Samstag112 in Beitrag No. 5 schreibt:
Haha, da hab ich in Linearer Algebra wohl nicht richtig aufgepasst oder den Satz wieder vergessen biggrin

Nein, du wirst lediglich eine Weile über das Problem nachdenken müssen bis du den Zusammenhang siehst. Er ist nicht total offensichtlich.



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Samstag112
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18


Danke für eure Hilfe! Ich stand tatsächlich etwas auf dem Schlauch, aber habe nun eine Lösung gefunden! 😊



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