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 Wann A und A⁻¹ ähnlich? |
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Red_
Aktiv 
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 470
Aus: Erde
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Hi,
ich stehe vor einem Problem, wo ich nicht weiter weiß :S
Sei A eine nxn Matrix mit Einträgen aus einem Körper. Außerdem sei A invertierbar mit A^-1. Wann sind A und A^-1 ähnlich?
Ich habe bisher nur notwendige Kriterien :S
Paar triviale wie etwa det(A)^2 = 1 oder folgendes:
Sei \(\mu_A = X^m + a_{m-1}*X^{m-1}+...+a_1*X + a_0 \) das Minimalpolynom von A. Dann ist erstens a_0 != 0, denn sonst wäre 0 ein Eigenwert von A, jedoch ist ker(A)=0. Dann ist das Minimalpolynom von A^-1 gegeben durch \(\mu_{A^{-1}}=X^m + a_1\cdot a_0^{-1}*X^{m-1} +...+ a_{m-1}\cdot a_0^{-1}\cdot X +a_0^{-1}\), was man wohl leicht zeigen kann. Da bei ähnlichen Matrizen die Minimalpolynome gleich sein müssen, folgt durch Koeffizientenvergleich...
Oder einen Ansatz über die Eigenwerte habe ich auch versuch:
Die Eigenwerte von ähnlichen Matrizen sind gleich. Falls \(\lambda \) Eigenwert von A, so ist \(1/\lambda\) Eigenwert von A^-1. Leider muss nicht Gleichheit zwischen diesen beiden gelten, sondern nur zwischen irgendeinem Eigenwert.
Vielleicht könnt ihr mir ja irgendwie weiter helfen :-)
Und bitte nur ganz kleine Tipps :-D
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8438
Aus: Dortmund, Old Europe
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-16
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Hallo, Red_,
beguck dir das Problem doch erst einmal, wenn A in Jordan-Normalform vorliegt. Die Idee mit den Eigenwerten ist doch ganz gut.
Wally
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Red_
Aktiv
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 470
Aus: Erde
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18
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Hey Wally,
danke, ich werde es mir am Wochenende erneut anschauen 
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Red_
Aktiv
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 470
Aus: Erde
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22
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Na gut, ich habe nun:
Die JNF von A^-1 gleich der JNF von A, wobei wir jedes Element auf der Hauptdiagonalen invertieren (d.h. aus \(\lambda\) wird \(\lambda^{-1}\)). Aber wie soll mir das weiterhelfen :/ A ähnlich zu A^-1 <=> A hat gleiche JNF wie A^-1 bis auf Reihenfolge der Jordanblöcke. Erneut liegt das Problem vor, dass die JNF nicht komplett eindeutig ist.
Könntest du mir vielleicht einen weiteren Tipp geben?
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Ex_Mitglied_4018
 | Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-22
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Da der Grundkörper beliebig ist, wird man die JNF nur verwenden können, wenn man über den algebraischen Körper arbeiten will. Sie ist aber sicherlich nützlich, um zu verstehen, was da eigentlich passiert.
Es geht auch ohne JNF. Wie Du bereits erkannt hast, ist jeder Eigenwert von A das Inverse eines anderen Eigenwerts von A. Was haben die Eigenräume dieser beiden Eigenwerte miteinander zu tun?
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Red_
Aktiv
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 470
Aus: Erde
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23
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Hi Zaos,
danke nun habe ich es, aber nicht so ganz wie ich es will:
\(A\) ähnlich zu \(A^{-1} \Rightarrow\) Eigenwerte von \(A\) zum Quadrat ergeben 1.
Da sie ähnlich sind, haben sie die gleichen Eigenwerte.
Es gilt \( \textrm{Eig}(A, \lambda ) = \textrm{Eig}(A^{-1}, \lambda^{-1} ) = \textrm{Eig}(A^{-1}, \mu ) = \textrm{Eig}(A, \mu^{-1} ) \). Das \(\mu \) ist also derjenige Eigenwert von \(A\) mit \(\lambda^{-1} = \mu\) (da sie gleiche Eigenwerte haben).
Nun sei \(v\in \textrm{Eig}(A, \lambda ) = \textrm{Eig}(A, \mu^{-1})\), also \(Av = \lambda v = \mu^{-1} v \Leftrightarrow A\cdot (\mu^2 v) = \mu v\). D.h. \( \textrm{Eig}(A, \lambda ) = \textrm{Eig}(A, \mu )\) (da diese Unterräume bilden). Daraus folgt unmittelbar \(\lambda = \mu\) und somit \(\lambda^2 =1\).
Man bemerke, dass bei der Hinrichtung keine JNF benötigt wurde.
Eigenwerte von \(A\) zum Quadrat ergeben 1 \(\Rightarrow\) \(A\) ähnlich zu \(A^{-1} \)
Diese Richtung kann ich nur zeigen, wenn ich die JNF betrachte (siehe meinen Beitrag davor, denn dann sind die Jordannormalformen gleich). Dafür muss die Hinrichtung aber erst mit der JNF bewiesen werden, was aber analog geht.
Kann man bei der Rückrichtung auch ohne JNF argumentieren?
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1090
| Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2018-06-23 13:08 - Red_ in Beitrag No. 5 schreibt:
\(A\) ähnlich zu \(A^{-1} \Rightarrow\) Eigenwerte von \(A\) zum Quadrat ergeben 1.
Das ist falsch, betrachte z.B. $A=\begin{pmatrix}a &0\\ 0& a^{-1}\end{pmatrix}$ für $a\not=0, a^2\not=1$. Was du danach zur Hinrichtung geschrieben hast, ist also auch falsch.\(\endgroup\)
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Red_
Aktiv
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 470
Aus: Erde
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23
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Ahh, danke dir Nuramon. Ich sehe auch den Fehler:
\(A\cdot (\mu^2 v) = \mu v\). D.h. \( \textrm{Eig}(A, \lambda ) = \textrm{Eig}(A, \mu )\) (da diese Unterräume bilden).
Links müsste nur ein v stehen 
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